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Bonjour,

Après mon post avant-hier sur le Gourdon Analyse, c'est au tour du Gourdon Algèbre... Je continue avec une proposition de simplification de preuve dans le dernier bouquin de la série de Xavier Gourdon intitulé Algèbre et probabilités - Les concours des plus grandes écoles pour les étoilés - MP*.

Je vous saurai gré si vous pouviez vérifier la validité de mon raisonnement, très simple.

Soit $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ premiers entre eux. Il faut montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers entre eux dans la suite $(u_n) = (a+nb)_{n \in \mathbb{N}}$.

Le livre s'embarque alors dans une preuve assez absconse par récurrence s'inspirant de la démo d'Euclide.

Pourtant il me semble que c'est assez élémentaire. Voici ma preuve.

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Montrons qu'il existe une infinité de $n$ tels que $(a+b) \wedge (a+nb) = 1$.

• Montrons déjà que l'on a :

$\forall n \in \mathbb{N} \quad (a+b) \wedge (a+nb) = (a+b) \wedge (n-1)$

On a $(a+b) \wedge (a+nb)=(a+b) \wedge (a+nb-n(a+b)) = (a+b) \wedge (1-n)a = (a+b) \wedge (n-1)a$.
Or, on a par hypothèse $a \wedge b =1$, et donc $(a+b) \wedge a =1$.
Il est alors classique que $(a+b) \wedge (n-1)a=(a+b) \wedge (n-1)$.

• Posons $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite des premiers. Posons $(q_n)=(p_n+1)$.
En appliquant le résultat précédent il vient :

$\forall n \in \mathbb{N} \quad (a+b) \wedge (a+q_n b) = (a+b) \wedge p_n$

• Pour $n$ assez grand, il est évident que $(a+b) \wedge p_n=1$. Pour $n$ assez grand, on a donc $(a+b) \wedge (a+q_n b)=1$.  Il s'ensuit qu'il existe une infinité de $n$ tels que $(a+b) \wedge (a+n b)=1$.
CQFD.
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Bonjour,

Je crois qu'il y a une erreur dans le cours du Gourdon Analyse.

Dans la 3e édition, à la page 234, le deuxième point de la remarque 5 énonce cela :

Pourtant, la suite de fonctions $\displaystyle (g_n)=\left([0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{(-1)^n}{x+n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ n'est-elle pas un contre-exemple ? En effet, $\sum g_n$ vérifie les hypothèses, mais elle ne converge pas normalement (juste uniformément).