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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n » 22-07-2026 16:48:01
Bonjour à tous,
Merci pour vos contributions qui hélas ne parviennent pas à se défaire des incontournables étapes intermédiaires :
1/ Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par deux
2/ Le produit de trois nombres ------------------------------------
Je vais finir par croire qu'il est impossible de conclure sans ses étapes.
#2 Re : Entraide (collège-lycée) » Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n » 21-07-2026 17:58:06
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.
Bonjour,
Trop simple de s'engouffrer dans cette voie là.
Il faut vraiment jouer le jeu de la démonstration par récurrence pour respecter l'énoncé.
#3 Entraide (collège-lycée) » Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n » 21-07-2026 17:39:33
- anthony_unac
- Réponses : 8
Bonjour,
Je bute sur cette démonstration par récurrence.
Plus précisément sur l'hérédité.
Supposons la propriété vraie au rang [tex]n[/tex] :
[tex]6 | (n^5-n)[/tex]
Montrons qu'elle est vraie au rang [tex]n+1[/tex] :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1)[/tex]
Les [tex]1[/tex] s'annulent et je cherche à retrouver du [tex](n^5-n)[/tex] dans l'expression, il vient :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n^4+10n^3+10n^2+5n[/tex]
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n(n^3+2n^2+2n+1)[/tex]
J'obtiens alors une somme de deux termes dont l'un est divisible par [tex]6[/tex] (hypothèse de récurrence) et l'autre est divisible par [tex]5[/tex] et je bloque à ce niveau là.
#4 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 18-07-2026 08:03:27
L'équation a donc des solutions entières.
Bonjour, Verdurin,
L'équation possède effectivement des solutions entières (et pas une infinité) sinon l'exercice n'aurait pas été posé ainsi.
Une fois que vous êtes parvenu à ce constat, que faites vous ?
Comment allez vous chercher à la main ces solutions ?
En résolvant l'équation de Pell Fermat ?
#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 18-07-2026 07:51:13
▼une solution
Bonjour jpp,
vous avez vu juste mais vous avez sauté des étapes dans votre factorisation du membre de gauche.
#6 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 18-07-2026 07:44:39
▼caché
Bonjour, Bridgslam, quelle est cette factorisation facile ;)
Concernant le cas général :
#7 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 19:32:48
#8 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 14:36:56
#9 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 12:43:45
j'ai trouvé
a2c2 - 38(a2 + c2) = 3
Après faut bricoler avec (a + c)2 ...? De tête je cale ! ... S et P ?
Bonjour,
J'ai hâte de voir si cette piste peut amener au résultat.
Si ça cale de tête, il va falloir se résoudre à sortir le papier/crayon ;)
Que signifie S et P ?
#10 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 10:29:19
Les nombres [tex]a[/tex] et [tex]c[/tex] sont des entiers naturels et [tex]ac[/tex] correspond donc à la multiplication de ces deux nombres.
#11 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 05:51:36
Bonjour Yoshi,
J'ignore ce qu'est une prequelle...
Concernant la décomposition de 1441 vous avez vu juste !
A présent, il faut entrer dans le dur avec la transformation du membre de gauche.
#12 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 16-07-2026 16:57:53
Bonsoir,
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