Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour.
Je bloque sur un exercice d'un DM (prépa ENS Cachan D2) depuis plusieurs heures et j'aimerais solliciter votre aide.

Pour l'instant, c'est la question 4 qui me pose problème mais je recopie l'ensemble de l'exercice au cas où la solution réside dans une question antérieure ou postérieure.

SUJET

On considère la fonction f définie pour tout réel x par : [tex]f(x)=x+1+2e^x[/tex] ainsi que la fonction g des deux variables réelles x et y définie par : [tex]g(x;y)=(x+y^2+e^x)e^x[/tex]

1) Etudier les variations de f et donner les limites de f(x) lorsque x tend vers +infini et -infini

2) Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de -infini et donner la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote.

3) Déduire des variations de f l'existence d'un unique réel a, élément de l'intervalle [-2;-1] tel que f(a)=0 (on rappelle que e~=2,7)

4) Déterminer le seul point critique de g, c'est à dire le seul couple de R², en lequel g est susceptible de présenter un extremum.

5) Vérifier que g présente un extremum relatif b en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ?

6) Montrer que l'on a 4b+a²-1=0

Pour les trois premières questions, aucun souci :
1) f est strictement croissante sur R, les limites demandées sont respectivement +infini et -infini.
2) L'asymptote oblique a pour équation y=x+1 et elle est toujours en dessous de Cf
3) On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver ce qui est demandé.

Pour la question 4), j'ai déterminé le gradient qui a, sauf erreur de ma part, pour coordonnées :
[tex](e^x)*(2e^x+2y²+x+1)[/tex] et [tex](e^x)*(2y+x+e^x)[/tex]
Je cherche pour quel couple (x;y) le gradient égale (0;0) mais quelles que soient les simplifications opérées, j'aboutis systématiquement à des équations que je ne sais pas résoudre. J'ai aussi essayé de trouver empiriquement une solution en fixant x à des valeurs simples (0 ; 1 ; -1 ; ...) mais sans succès également.

Que dois-je faire ? Comment dois-je procéder ?
Merci par avance pour votre aide.

Joe Black

Bonjour.

Je suis amené dans un DM de maths à utiliser la formule des probabilités composées.
J'ai trouvé la formule sur Bibmath.net (ici).
Seulement, je ne suis pas sur de la signification de la notation "|" dans "P(A1|A2)" par exemple.
S'agit-il de la différence de deux sous-ensembles (que j'ai l'habitude en cours de noter "\") ?

Merci d'avance pour votre/vos réponse(s).

Bonne journée.

Joe Black