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Salut,
Soient \(\Omega\) un ouvert borné de \(R^n\) de frontière \(\Gamma\) et \(f\in L^2(\Omega)\).
Considérons pour tout \(\varepsilon >0\) le problème aux limites:
$$ (P_\varepsilon) \begin{cases} \ \ -\varepsilon\Delta u+u=f , dans\Omega\\ u=0 \hspace{2cm} sur\Gamma\end{cases}$$.
(1) montrer que \((P_\varepsilon)\) admet une solution unique\(u_\varepsilon\) en précisant l'espace\(V\) des solutions avec la norme utilisée.En déduire l'estimation :
\(\mid u_\varepsilon\mid_{1,\Omega}=\parallel\nabla u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq \frac{1}{\varepsilon}\parallel f \parallel_{0,\Omega}\).
(2) Utiliser la norme \(\parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}+\mid u_\varepsilon\mid_{1,\Omega}\) sur l'espace\(V\) des solutions pour montrer l'estimation :
\(\parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega}\).
(3) Montrer que \(u_\varepsilon\) tend vers \(f\) dans \(L^2(\Omega)\) lorsque \(\varepsilon\) tend vers\(0\).
Pour la première question j'ai utilisé Lax-Milgram et l'espace \(V=H^1_0\) j'ai obtenu le resultat.
Pour la deuxième: est-ce -qu'on peut faire comme suit
\(\parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega} - \parallel\nabla u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega} -\frac{1}{\varepsilon}\parallel f \parallel_{0,\Omega}\)
\( \Rightarrow \parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega}\).
La troisième je n'ai pas trouvé la solution.
Merci.