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Bonjour.

Voici un résumé de ma solution.
Il s’agissait de trouver un équivalent de la suite [tex](u_n)[/tex] définie par

[tex]u_0=0[/tex]   ,   [tex]u_1=1[/tex]   ,   [tex]\displaystyle u_{n+2}=\dfrac{p}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k[/tex]

Première idée:
Je cherche d’abord un équivalent de [tex]s_n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k [/tex], cette suite étant définie par:
[tex]s_0=0[/tex]  ,   [tex]s_1=1[/tex]   ,    [tex]s_{n+2}-s_{n+1}=\dfrac{p}{n+1}s_n[/tex]

Deuxième idée:
Trouver l’expression de [tex]f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} s_n x^n[/tex].
[tex]f[/tex] est solution de l’équation différentielle
[tex](x-x^2)y’=(px^2+1)y[/tex]    ,      [tex]y(0)=0[/tex]     ,        [tex]y’(0)=1[/tex]
On trouve :   [tex]f(x)=\dfrac{xe^{-px}}{(1-x)^{p+1}}[/tex]

Troisième idée :
[tex]\dfrac{1}{(1-x)^{p+1}}= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_nx^n[/tex]   avec. [tex]\alpha_0=1[/tex]   ,     [tex]\alpha_n =\dfrac{(p+1)\ldots (p+n)}{n!}[/tex]

[tex]s_{n+1}=\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{(-p)^k}{k!}\alpha_{n-k}    [/tex]

Il est bien connu que :  [tex]\Gamma(p) = \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{n! n^p}{p(p+1) \ldots (p+n)}[/tex]

On en déduit que :   [tex]\alpha_n \sim \dfrac{n^p}{p\Gamma(p)}[/tex]

Il n’est pas trop difficile alors de montrer que :   [tex]s_{n+1} \sim \dfrac{n^p}{p\Gamma(p)}e^{-p}[/tex]

Et, ensuite :  [tex]u_n =\dfrac{p}{n-1}s_{n-2} \sim \dfrac{n^{p-1}}{\Gamma(p)}e^{-p}[/tex]