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#1 Re : Entraide (supérieur) » Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes » 14-12-2024 16:59:26
Bonjour,
Désolée pour ce retard de réponse, ça fait longtemps que je ne suis pas passée sur le site. Je viens de revenir à cet exercice, en prenant le sup (resp. l'inf) sur un ensemble fini, merci énormément pour votre aide bridgslam et Fred :)
Bonne soirée
#2 Entraide (supérieur) » Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes » 27-11-2024 16:04:43
- Matos2403c
- Réponses : 3
Bonjour, j'essaye de montrer que si la suite u à valeurs réelles converge, alors il existe un entier naturel m tel que um=infn(un) ou n tel que un=supn(un)
j'aimerais bien avoir une idée pour commencer. A part le fait que infn(un)≤supn(un), rien d'intéressant ne m'est venue à l'esprit.
Merci d'avance.
#3 Re : Entraide (supérieur) » Borne inférieure d'une somme » 12-11-2024 15:40:56
Bonjour,
il y a 2 parmi n soit n(n-1)/2. C'est très clair maintenant. Je vous remercie pour votre aide!
Bonne fin de journée.
#4 Re : Entraide (supérieur) » Borne inférieure d'une somme » 09-11-2024 19:01:25
Dans ce cas là x1=...=xn=1 implique n2 est un max.
#5 Re : Entraide (supérieur) » Borne inférieure d'une somme » 09-11-2024 18:58:53
Bonjour,
J'ai rassemblé les éléments de B en paires (xi/xj+xj/xi)i<j. J'avoue avoir cependant encore du mal à déterminer le nombre de ces paquets (Li)i∈{1,...n-1} minorés par 2 chacun. Il me faut déterminer le nombre de ces paires pour exploiter la 1ère question de minoration par 2.
Ensuite je pourrais écrire que (x1+...+xn)(1/x1+...+1/xn)≥n+2p où p est le nombre de paires supérieures ou égales à 2. Je m'excuse si ce que je demande est trivial mais je n'arrive clairement pas à trouver p.
merci pour vos réponses détaillées. Je n'ai pas encore accès à l'inégalité de Cauchy-Schwartz mais en cherchant sur le net je suis tombée sur un exo consistant à montrer que (x1+...+xn)(1/x1+...+1/xn)≥n2 ce qui résout le problème et montre que p=n(n-1)/2 mais j'aimerais bien comprendre la suite du 1er cheminement.
Bonne soirée.
#6 Re : Entraide (supérieur) » Borne inférieure d'une somme » 07-11-2024 20:05:14
Bonsoir,
merci énormément pour votre réponse. Désolée si c'est une question stupide mais en fait est-il possible que i soit égale à j? parce que j'ai trouvé que dans tous les termes de la somme B i est strictement inférieur à j.
Bonne soirée à vous.
#7 Entraide (supérieur) » Borne inférieure d'une somme » 07-11-2024 17:50:26
- Matos2403c
- Réponses : 8
Bonjour, je bloque un peu sur la deuxième question de cet exo et j'aimerais bien qu'on m'aide un peu là-dessus.
Il s'agit de déterminer l'inf de A={(x1+...+xn)(1/x1+...+1/xn)/(x1,...,xn)∈(ℝ*+)n}.
1)montrer que ∀xi,xj>0, xi/xj+xj/xi≥2.
2)trouver infA pour n≥1 fixé.
en développant la somme je trouve que S=(1+...+1)+(x1/x2+...+xn/xn-1)=n+B. Je n'arrive pas à trouver la valeur de B. Chaque quantité est minorée par 2 mais je bloque ici.
Merci beaucoup.
#8 Re : Entraide (supérieur) » Borne sup non atteinte » 05-11-2024 16:39:52
Bonjour
bridgslam, effectivement j'ai fini par reprendre le raisonnement par l'absurde. C'est beaucoup plus clair pour moi maintenant, merci énormément pour toutes vos explications! Merci Roro et DeGeer également.
Bonne fin d'après-midi :)
#9 Re : Entraide (supérieur) » Borne sup non atteinte » 04-11-2024 15:22:42
Merci DeGeer :)
J'ai utilisé le fait que M n'appartient pas à A dans ma démo pour passer à l'inégalité stricte dans la détermination de l'intervalle qui contient une infinité de termes. Je sais que ma démonstration n'est pas acceptable.
Votre réponse est très claire, mais alors dans quels cas peut-on exploiter la propriété concernant la borne sup et les suites?
#10 Entraide (supérieur) » Borne sup non atteinte » 04-11-2024 12:56:16
- Matos2403c
- Réponses : 6
Bonjour,
J'aimerais bien avoir une vérification pour ma réponse à cet exercice puisque la correction affiche une autre méthode et je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct ou pas.
énoncé: soit A une partie de R majorée possédant une borne supérieure M n'appartenant pas à A. Montrer que ∀ε>0, ]M-ε,M[ contient une infinité d'éléments de A.
J'ai utilisé le fait que M=supA implique qu'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers M.
∀ε>0 ∃n0∈ℕ, ∀n∈ℕ, n≥n0 ⇒ |un-M|≤ε ⇒ M-ε≤un≤M+ε
donc il y a une infinité de termes de la suite u dans l'un des deux intervalles ]M-ε,M[ ou ]M,M+ε[, comme M est un majorant de A c'est le premier intervalle qui contient une infinité de termes de (un)n∈ℕ et donc de A.
Merci beaucoup d'avance!
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