Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Si ça intéresse quelqu'un, voici la solution de l'exercice dans le pdf : https://drive.google.com/file/d/1pM3IFl … p=drivesdk

Dans ma démarche initiale, j'ai voulu transformer ce problème 2D à un problème 1D, en utilisant des idées de symétrisation.
Je suis alors arrivé à la formule de Crofton (dans l'esprit de Steiner) radiale (projetée en plus car j'ai essayé d'aller au maximum de l'idée), offrant un cadre propre aux considérations de symétrisation.

Je n'ai rien vu de mieux, et je suis très satisfait d'avoir trouvé cette approche, et la richesse des problèmes encore "ouverts" dans ce cadre de réflexion.

C'est assez similaire au raisonnement classique pour arriver à un triangle isocèle mais on peut l'exprimer plus naturellement, rien de plus.

Voici : on veut démontrer dans un certain cadre général, sans avoir à faire de calcul ou raisonnement compliqués :

Parmi tous les triangles de périmètre fixé $p$, le triangle équilatéral maximise l’aire.

L'idée centrale est de retrouver simplement que "Rendre la figure plus symétrique augmente l’aire à périmètre fixé."

On va alors montrer qu’on peut transformer n’importe quel triangle en un triangle isocèle puis équilatéral, en augmentant (ou conservant) l’aire, sans changer le périmètre.

Soit un triangle $ABC$.

On fixe la base $AB$. On garde cette longueur $AB$ constante.

Le périmètre vaut :
$a + b + c = p$
donc $a + b = p - c = \text{constante}$

Symétrisation :  On remplace le point $C$ par un point $C'$ tel que :

$AC' = BC'$
et
$AC' + BC' = AC + BC$
donc le périmètre est conservé.

Alors, parmi tous les points C possibles c'est-à-dire, tels que $AC + BC$ est constant, l'aire augmente quand on rapproche $C'$ de la médiatrice de $AB$.

Ainsi, à périmètre fixé, pour une base donnée, le triangle d’aire maximale est isocèle.

[On retrouve que l'on a maximisé la hauteur (et donc l'aire du triangle $ABC$), puisque $AC + BC = \text{constante}$ est une ellipse et que la hauteur maximale correspond au milieu de $AB$.]

On applique ce raisonnement à $AB$,  à $BC$ puis à $CA$ : chaque étape pousse vers plus de symétrie.

En conclusion, la seule forme stable sous ces symétrisations est le triangle équilatéral.

En résumé, chaque symétrisation augmente ou conserve l’aire. Le processus converge vers l’équilatéral donc l’équilatéral maximise l’aire.

Selon, la lecture de Crofton/Radon, cette preuve signifie :
tu redistribues les "sections" de manière plus uniforme
tu augmentes la moyenne, l’optimum est atteint quand tout est équilibré.

À périmètre fixé, l’aire est maximale pour l’équilatéral :
asymétrie -> gaspillage de "hauteur"
symétrie -> utilisation optimale du périmètre.

Ca se généralise dans ce même cadre, en 2D, à n'importe quel corps convexe : la solution polygone optimale, est bien toujours le polygone régulier.

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Au cas où vous auriez des interrogations plus larges :
- en 3D ou plus, c'est plus compliqué, il n'existe pas toujours de résultat équivalent, pour un nombre de sommet quelconque.
- En 3D, lorsque le nombre de points correspond au nombre de sommets d'un polygone de Platon (il y en a que 5) : 4, 8, 6, 20, 12, ces polygones reguliers sont bien "solutions".
- la formule de Crofton radiale en 2D servant à définir l'aire d'un polygone est la suivante :
$A(K) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho_K(\theta)^2 \, d\theta$
où $\rho_K(\theta)$ est la fonction radiale (distance du centre à la frontière dans la direction $\theta$).

(que l'on sait toujours maximiser donc).

- mais, trouver le solide qui maximise la quantité donnée par la formule radiale croisée, est encore une question ouverte (conjecture) :
$A_{\alpha}(K) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho_K(\theta)\,\rho_K(\theta + \alpha)\, d\theta$

Bonne journée

D'après mes recherches, tu seras toujours obligé de faire un an de stage après l'agrégation, pendant laquelle tu devras enseigner.

Ensuite, par contre, tu peux demander une sorte de dérogation pour garder le titre, mais tu n'auras plus le statut de fonctionnaire (ou assimilé) (et tous les droits associés), et tu ne seras plus rémunéré non plus.
Mais tu pourras, par exemple, participer à une IEF (instruction en famille).

Il me reste à tenter de construire cette démonstration évoquée en #1 (si possible bien sûr), à partir du document et de la théorie donnés par Roro (merci bien).

Mais une fonction analytique sur $\mathbb{R}$ est aussi $C^{\infty}(\mathbb R)$, donc ma condition n'avait pas grand sens...

C'est pour cela qu'au début j'avais parlé de fonctions explicites.

Je crois qu'on ne peut pas avoir une fonction continue et explicite sur un intervalle I, avec un zero non isolé ?
(par contre, évidemment, une fonction non explicite peut avoir des zéros isolés).

Je doute fort de mon résultat pour être tout à fait honnête, surtout que je vois une erreur évidente.
Au mieux, c'est une condition suffisante mais pas nécéssaire, comme je l'avais évoqué dans mon premier message.

Edit :  déjà $f'(a)=0$ implique que $f'(x)= O(x-a)$ (et non petit $o$), donc ma caractérisation serait plutôt $f(x)=O\left((x-a)^2\right)$, c'est-à-dire $f$ deux fois dérivable en $a$.

Je ne vois qu'une condition suffisante : au voisinage d'un point $a$ où $f$ s'annule, $f$ est une fonction explicite et $f(x)=o\left((x-a)^2\right)$.

J'ai bien vu. C'est parceque dans un message de l'autre forum, tu as évoqué le fait de démontrer que $u_n$ converge. J'ai donc du mal comprendre ce message.

Bonjour,
Juste pour l'énoncé précédent avant correction typo ($u_n - u_{n^2}) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$) : on ne pouvait bien entendu pas en déduire que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergeait forcément, avec ke simple contre-exemple : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, définie par
$$u_n = 1 + (-1)^{n \% 2}$$
où $n \% 2=0$ si $n$ est pair, et $1$, si $n$ est impaire.

Et pour ce qui concerne la discussion, la conclusion était, si je me souviens bien, que ça ne changeait pas grand chose : quelque soit la définition prise, le théorème discuté ne change pas (et quelque soit la définition de limite, on obtient la même chose pour la continuité ou non d'une fonction).