Forum de mathématiques - Bibm@th.net

oui c'est pas mal, ca peut donner des idées.

J'ai une idée un peu similaire, mais il faut juste que je trouve le temps de la coucher plus concrètement sur le papier.

Je n'ai pas complétement regardé encore le doc de roro mais je pense qu'on peut recouper avec ce genre de démarches.

Tu veux dire celle avec $ f''(x)=0$ ?

Je reviens vite fait pour dire que par fonction explicite je voulais entendre gonction analytique.
Par ailleurs, pour ma dernière question, je m'auto-réponds que non, une fonction analytique sur un intervalle I, non identiquement nulle, ne peut avoir que des zéros isolés.

Oui, les zeros de $f'$ doivent être isolés.

$f$ étant positive, posons $f(x)=h(x)^2$.
On cherche une CNS pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$.

Pour que $\sqrt f$ soit dérivable en un zéro $a$ de $f$, $h$ doit être de signe constant au voisinage de ce point.
D'où $\sqrt{f}=h$ (le même raisonnement est valable si $\sqrt{f}=-h$, avec $h$ négative).
Par ailleurs, $f$ étant $C^1(\mathbb R)$, en utilisant, par exemple, la formule de Taylor, on obtient :
$f(x) = (x-a) f'(a) + o\left((x-a)\right)$.

D'où
$$f'(a)=0$$

De plus, pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$, il faut que :
$\displaystyle (h'(a)=)\lim_{x \to a} \dfrac{h(x)}{x-a} =\lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, c'est-à-dire :
$\displaystyle \dfrac{h(x)}{x-a} \underset{a}{\sim}
\dfrac{f'(x)}{2 \sqrt{f(x)}}$,
$\displaystyle 2\ h(x)^2 \underset{a}{\sim} f'(x) (x-a)$
Or $f'(x)=o\left((x-a)\right)$ en $a$
D'où
$$f(x)=o\left((x-a)^2\right)$$

En conclusion, la CNS est :
$\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies  f(u)=o\left((u-x)^2\right),\ \text{au voisinage de } x)$
ou de manière équivalente (si $f''$ existe au zéro en question) :
$\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies f''(x)=0)$

edit : coquilles

On peut voir un prompt chat gpt comme une forme de codage. Je sors...

Mais avec cette suite : $u_n - (u_n)^2 \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$ aussi, il me semble.
On pourrait ajouter $0 \lt u_n \lt 1$, par exemple, mais je ne crois pas non plus que ça permette de dire que la suite converge.

Si c'est ça, il faudrait que tu précises une condition, ou peut-être voir ce qu'on pourrait dire de $\sum u_n$, avec $u_n=o(1/n)$ (?), plutôt que de $u_n$ ?

À relire, en y re-réfléchissant et en lisant la réponse #2, je pense avoir été hors sujet par rapport à la question.
La réponse attendue était sans doute bien #2. L'exemple de Michel Coste est dans le sens exact de ce que dit le théorème. En plus, le "on suppose ... mite finie l" de l'énoncé ne m'a pas fait tilter que c'était explicitement une implication. L'aspect de la continuité était fixé, lui, dès le départ. J'avais mal lu.

@bridgslam je ne veux pas qu'il le répète 36 fois : comme tout un chacun (et c'est heureux), il a le droit de faire ce qu'il veut.

J'ai juste compris que pour lui :

même si $f$ n'est pas continue en $a$, ce qui est une erreur, comme l'illustre l'exemple donné.

1) je sais bien que la continuité est précisée dans le théorème mais justement, il me semble que puisque l'auteur, dans l'explication de ce qu'il ne comprend pas, semble avoir oublié de la rappeler, il n'avait pas compris son importance.

2) En effet.

Pourtant c'est différent dans le cas général.
Exemple :

\[
f(x) =
\begin{cases}
1 & x \neq a\\
0 & x = a
\end{cases}
\]
$f$ est bien dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{a\}$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} f'(x) = 0$, mais $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ n'existe pas (limite à gauche différente de la limite à droite).

Tu as oublié l'important : $f$ doit être continue.

edit : correction de l'exemple.