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Bonjour,

Je verrais une idée plus élémentaire pour arriver a ce résultat: la mesure de Lebesgue d'un rectangle R=[a1,b1]x...x[an,bn] est L(R)=(b1-a1)x...x(bn-an). Si on applique l'homothétie h de rapport K a un tel rectangle, son aire est multipliée par K^n: L(h(R))=K^n.L(R).
Maintenant, si on suppose que la boule est mesurable, on peu approcher sa mesure de Lebesgue par des mesures de pavages par des rectangles, de plus en plus fins.
En faisant intervenir ici la linéarité (et la continuité) de l'homothétie on devrait pouvoir conclure...
Pas sur que ça marche, il faudrait écrire un peu proprement...

J'espère que ça vous aide

Cordialement