Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

Origine de la bizarritude identifiée xD De deux choses l'une :
- soit tu utilises le fait que dans le contexte les variables d'espace sont asservies au temps, et tu dérives par rapport au temps i.e. [tex]\partial_t\{V(x(t),\dot{x}(t))\}[/tex], auquel cas ce que tu calcules s'appelle la dérivée de Lie de [tex]V[/tex] dans la direction du champ de vecteur [tex]F(x,y)=(y, L-\alpha y-ax-sin(x))[/tex] (et qu'on note en général [tex]\dot{V}[/tex] dans les ED -- bien que [tex]V[/tex] ne dépende pas du temps),
- soit tu dérives par rapport aux variables d'espace [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex], et parler de [tex]\dot{x}[/tex] ou [tex]\dot{y}[/tex] n'a aucun sens, ce sont des variables réelles, pas des fonctions !
Là je ne sais pas trop ce que tu as calculé, c'est quelque chose entre les deux.

Vu la façon dont est posé l'exercice où tout est mélangé, ce n'est pas vraiment de ta faute. Tu n'as peut-être pas l'habitude de bien faire la distinction variables réelles / solutions, c'est un avantage quand on veut faire de la pratique, mais un inconvénient pour la théorie. L'idéal est d'être capable des deux.

Reprenons. Je vais supprimer [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] pour éviter les ambiguïtés. On cherche les points où la fonction [tex]V:(p,q)\mapsto\frac{1}{2}q^2+\frac{a}{2}p^2-Lp-\cos p[/tex] a une différentielle nulle. Comment je sais que celà entraîne [tex]q=0[/tex] ? Eh bien on a déjà calculé [tex]DV_{(p,q)}\cdot F(p,q)[/tex] en tout point [tex](p,q)[/tex]. En effet pour toute solution [tex]\sigma[/tex] de l'ED :
[tex]\begin{eqnarray*}\partial_t\{V(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\}
&=&(\partial_1V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot\dot{\sigma}(t)+(\partial_2V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot\ddot{\sigma}(t)\\
&=&(\partial_1V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot F^1(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))+(\partial_2V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot F^2(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\\
&=&DV_{(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))}\cdot F(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\end{eqnarray*}[/tex]
Si on prend la solution [tex]\sigma[/tex] telle que [tex](\sigma(0),\dot{\sigma}(0))=(p,q)[/tex], on obtient pour [tex]t=0[/tex] que [tex]\dot{V}(p,q)=DV_{(p,q)}\cdot F(p,q)=\partial_t\{V(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\}|_{t=0}[/tex]. OR, on a déjà calculé que [tex]\partial_t\{V(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\}=-\alpha\dot{\sigma}(t)^2[/tex], ceci implique donc que [tex]DV_{(p,q)}\cdot F(p,q)=-\alpha q^2\neq 0[/tex] dès que [tex]q\neq 0[/tex]. Et si [tex]DV\cdot F[/tex] n'est pas nul, [tex]DV[/tex] ne peut pas être nul.

Version rapide maintenant : on a vu que [tex]\dot{V}=-\alpha y^2[/tex], or [tex]\dot{V}=DV\cdot F[/tex], donc si [tex]y\neq 0[/tex], [tex]DV[/tex] ne peut pas être nulle ! ...

GK

Pas mal, au signe près c'est ça : [tex]B=\frac{|L|+1}{a}[/tex]. (Si [tex]L<0[/tex], [tex]\left|\frac{L-1}{a}\right|>\left|\frac{L+1}{a}\right|[/tex].) On peut le voir graphiquement aussi, le graphe de [tex]\sin[/tex] étant compris entre les droites [tex]y=1[/tex] et [tex]y=-1[/tex] il n'y a que quelques intersections de droites à considérer... mais l'argument analytique est plus synthétique, bien vu :)

Et maintenant, quid des points critiques de [tex]V[/tex] ?

GK

Salut Mathieu,

En fait tu as partiellement raison, il y a un petit misprint dans la correction, un "i" qui s'est changé en "1" dans la l'égalité. En revanche je trouve bien [tex]Res(f,i)=-\frac{2+i}{4}[/tex], avec une autre méthode (trop rouillé sur les DL).

GK

Huhuhu ^^

Mé non. Il faut la résoudre graphiquement : [tex]\sin(x)=L-ax[/tex]. On n'a pas besoin de connaître précisément les points fixes, seulement de savoir majorer leur distance à l'origine (et de savoir qu'il n'y en a qu'un nombre fini). Et ça ça peut se faire à partir de courbes ;)

Ok, alors allons-y pour la méthode sans [tex]V_{\delta}[/tex]. Avant ça, pour la culture, l'[tex]\omega[/tex] d'une orbite c'est essentiellement "vers quoi elle tend quand [tex]t\to\infty[/tex]". Quand tout va bien c'est un point ou une orbite circulaire, mais ça peut aussi être un truc beaucoup plus sale voire l'espace tout entier (Enfin euh... p'têt pas dans le plan ^^). L'[tex]\alpha[/tex] c'est pareil mais pour [tex]t\to-\infty[/tex]. J'insiste sur le fait que ce n'est pas la méthode attendue dans l'exercice.

1) Quels sont les points fixes du champ ? Quels sont les points critiques de [tex]V[/tex] ?
2) Pourquoi V est-elle strictement décroissante sur les orbites en-dehors des points fixes ? (petite subtilité)
3) Soit [tex]\phi[/tex] le flot du champ. Soit [tex]X_0=(x_0,y_0)[/tex] un point de départ quelconque, montrer qu'il existe [tex]t_n\to\infty[/tex] tel que [tex]\phi(t_n,X_0)[/tex] converge. Pour toute telle suite, montrer que la limite est un point critique pour [tex]V[/tex].
4) Tenant compte du fait qu'il n'y a qu'un nombre fini de points fixes / critiques, expliquer pourquoi pour toute orbite, [tex]\phi(t,X_0)[/tex] converge vers un point critique quand [tex]t\to\infty[/tex]. (Ind. : par l'absurde, supposer qu'elle a plusieurs valeurs d'adhérence, et créer un nouveau point critique sur une petite sphère autour de l'un d'entre eux.)
5) Conclure.

En espérant ne pas me tromper.

GK

Re,

Inutile, on a *déjà* montré que V est de Lyapunov, du moins au sens où elle décroit sur les orbites. La subtilité ici c'est que suivant les valeurs de L et a on peut avoir non pas un mais plein de points fixes, la condition de minimum habituelle a donc été remplacée par des inégalités bizarres.

J'ai peur de ne pas trop pouvoir t'aiguiller pour cette dernière question, je vois bien quelles méthodes générales de systèmes dynamiques il faut employer pour répondre à la question, en revanche j'ai du mal à voir comment imbriquer les résultats déjà établis dans l'exercice pour conclure. Cet exo est tellement mal rédigé qu'on dirait que c'est moi qui l'ait écrit xD

L'idée générale c'est qu'on a un système dynamique avec fonction d'énergie (V), comme les orbites sont bornées elles ont forcément des points d'adhérence, ces points sont nécessairement critiques pour l'énergie. Or ici l'ensemble des points critiques coïncide exactement avec l'ensemble des points fixes du système, donc l'ensemble de ces points fixes attire à lui toutes les orbites d'où qu'elles viennent. On demande donc d'exhiber un voisinage assez gros des points fixes (une boule ici) qui soit un piège pour les orbites.

Je suppose qu'on peut à partir de ce schéma général montrer à l'aide des inégalités vues précédemment que tout ce qui s'approche à moins de XX des points fixes ne repartira pas à plus de YY, et trouver un ainsi le piège cherché. Mais comme dans le 3) on se casse les pieds à travailler avec [tex]V_{\delta}[/tex], je suppose qu'il doit y avoir une méthode plus fine pour y parvenir... mais elle m'échappe.

GK

RE-EDIT : en fait non, c'était juste ^^

C'est l'opération qu'on réalise lors d'une réduction de Gauss. L'autre nom serait "identité remarquable", je suppose.
Ici il s'agit précisément de minorer les termes pénibles (parabole+cos), puis de se mettre de côté la forme recherchée et de faire une réduction de Gauss de ce qui reste (et qui se trouve être une forme quadratique). La condition sur [tex]\delta[/tex] apparaît alors d'elle-même.

GK

Re,

Comme pour l'autre question, il s'agit de manipuler des formes quadratiques pour obtenir des bornes (ici, une minoration). On souhaite montrer que :
[tex]V_{\delta}(x,y) \geq \frac{ax^2}{8}+\frac{y^2}{8}-\frac{2L^2}{a}-1[/tex]

En découpant le [tex]\frac{a}{2}x^2[/tex] de [tex]V_{\delta}[/tex] en petits morceaux, on peut se débarasser du [tex]-Lx[/tex] et obtenir la minoration par [tex]-\frac{2L^2}{a}[/tex]. Il reste encore assez pour former la fq demandée ainsi qu'un certain reste, dont on peut montrer avec une factorisation de Gauss que c'est une fq dp pour [tex]\delta[/tex] petit.

Euh... bon ok, c'est pas super clair, mais l'idée c'est bien de faire des formes quadratiques et de découper le [tex]x^2[/tex] en morceaux ^^

Bon courage (^_^')
GK

Salut "besoin-d'aide",

Il me semble que ton majorant dépend de [tex]x[/tex] pour l'instant non ? Si je te dis "parabole", est-ce que celà t'éclaire ? Et il me semble que le bon majorant est [tex]\frac{L^2}{a}[/tex].

Cordialement,
GK

Salut missedz,

La propriété que j'ai cité n'est pas une définition, c'est une conséquence de la défintion des limites (ou des pptés de borne sup / inf) et de la monotonie des suites d'encadrement. Ici il y a une petite difficulté supplémentaire du fait que ce sont des limites à variable continu et non à variable discrète (entière).

La difficulté avec les liminf / limsup c'est que la définition n'aide pas trop à comprendre ce qu'elles sont réellement, ce qu'il faut c'est garder en tête un dessin dans le style de celui donné sur wikipédia avec l'idée "d'encadrement asymptotique", et trouver des propriétés formelles qui traduisent bien les phénomènes observés. Un notion-clé qui aide beaucoup dans ce cadre c'est celle de valeur d'adhérence.

GK

Ploum à tous,

une semaine s'étant écoulée sans nouvelles de missedz, voici une méthode de résolution :

Prenant [tex]\epsilon=1[/tex] dans l'encadrement des [tex]\limsup / \liminf[/tex], on trouve un [tex]a>0[/tex] tel que :
[tex]\forall |x|>a,\quad k^2-1<\frac{f(t,x)}{x}<(k+1)^2+1[/tex]

S'ensuit donc :
[tex]\forall |x|>a,\quad -|x|<f(t,x)\cdot\mathrm{sgn}(x)-k^2|x|<(2k+2)|x|[/tex]
[tex]\forall |x|>a,\quad |f_1(t,x)|<(2k+2)|x|[/tex]

On forme alors pour tout n :
[tex]\begin{eqnarray*}
\int_0^{2\pi}f_1(t,x_n(t))^2dt &=& \int_{x_n^{<-1>}([-a,a])}f_1(t,x_n(t))^2dt
+\int_{[0,2\pi]\setminus x_n^{<-1>}([-a,a])}f_1(t,x_n(t))^2dt \\
&\leqslant& \int_{x_n^{<-1>}([-a,a])} \left(\max_{[0,2\pi]\times[-a,a]}{|f_1|}\right)^2dt
+\int_{[0,2\pi]\setminus x_n^{<-1>}([-a,a])} 4(k+1)^2\cdot x_n(t)^2dt\\
&\leqslant& 2\pi M^2+8\pi(k+1)^2(\|x_n\|_{\infty})^2
\end{eqnarray*}[/tex]
(Remarque : on aurait pu majorer avec [tex]\|x_n\|_{L^2}[/tex])

D'où il vient :
[tex]\|f_1\|_{L^2}\leqslant \sqrt{2\pi}(M+2(k+1)\|x_n\|)[/tex]
Et donc dès que [tex]\|x_n\|\geqslant 1[/tex] :
[tex]\frac{\|f_1\|_{L^2}}{\|x_n\|}\leqslant \sqrt{2\pi}(M+2k+2)[/tex]
D'où le caractère borné (en supposant [tex]x_n\neq 0 \forall n[/tex] évidemment).

On peut procéder de façon analogue pour [tex]f[/tex].

GK

J'ai peur que ça ne suffise pas, je pensais plutôt à sortir les [tex]\epsilon[/tex], mettre un peu les mains dans le cambouis... Saurais-tu tirer de tes inégalités de [tex]\limsup / \liminf[/tex] une inégalité à la Weierstrass, du style [tex]\forall |x|\ldots[/tex] ?

GK