Forum de mathématiques - Bibm@th.net

X=Cp; Cp=Dp; Dp=X; % Interversion de C' et D'

% Conique tangente à (NC), (CC'), (C'N'), (N'D'), (D'D), (DN)
NC=Wedge(N,C); CCp=Wedge(C,Cp); CpNp=Wedge(Cp,Np);
NpDp=Wedge(Np,Dp); DpD=Wedge(Dp,D); DN=Wedge(D,N);
NulConic3=Factor(CoconiquesBary(NC,CCp,CpNp,NpDp,DpD,DN))

% Conique tangente à (DC), (CH), (HC'), (C'D'), (D'G), (GD)
DC=Wedge(D,C); CH=Wedge(C,H); HCp=Wedge(H,Cp);
CpDp=Wedge(Cp,Dp); DpG=Wedge(Dp,G); GD=Wedge(G,D);
NulConic4=Factor(CoconiquesBary(DC,CH,HCp,CpDp,DpG,GD))

% On trouve NulConic3=NulConic4=0 donc c'est gagné
 

clc, clear all

syms a b real % Les longueurs des côtés du triangle IAA' sont IA=IA'=b et AA'=a

% Notations de Conway
Sa=b^2-a^2/2; Sb=a^2/2; Sc=a^2/2;

I=[1; 0; 0]; A=[0; 1; 0]; Ap=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle IAA'
AAp=[1, 0, 0]; IAp=[0, 1, 0]; IA=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle IAA'
M=[0; 1; 1]; % Milieu de [AA']

%-----------------------------------------------------------------------

B=[Sb; Sa; 0]; % Projeté orthogonal de A' sur (IA): B=[a^2; 2*b^2-a^2; 0
Bp=[Sc; 0; Sa]; % Projeté orthogonal de A sur (IA'): Bp=[a^2; 0; 2*b^2-a^2]
d=[0, 1, 1]; % Parallèle à la droite (AA') passant par I
IM2=b^2-a^2/4; % Pythagore: IM2=IM^2

syms t real % t=sqrt(IM2) (C'est la distance IM)

m=Wedge(I,Barycentre([A M],[t b])); % I-bissectrice de IAM
% On trouve m=[0, -b, b+2*t]. De même:
mp=[0, -(b+2*t), b];

BAp=Wedge(B,Ap); ABp=Wedge(A,Bp);
C=SimplifieBary(Wedge(m,BAp));
Cp=SimplifieBary(Wedge(mp,BAp));
D=SimplifieBary(Wedge(m,ABp));
Dp=SimplifieBary(Wedge(mp,ABp));
% On trouve:
% C=[a^2*(b+2*t); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2)]
% Cp=[a^2*b; -b*(a^2-2*b^2); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t)]
% D=[a^2*b; -(a^2-2*b^2)*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2)]
% Dp=[a^2*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t)]
E=SimplifieBary(Wedge(d,ABp)); % E=[-a^2, 2*b^2-a^2, a^2-2*b^2]
Ep=SimplifieBary(Wedge(d,BAp)); % Ep=[a^2, 2*b^2-a^2, a^2-2*b^2]

%-----------------------------------------------------------------------
% Les droites d, (AC), (B'C') sont concourantes en J

AC=Wedge(A,C); % AC=[-b*(a^2-2*b^2), 0, -a^2*(b+2*t)]
BpCp=SimplifieBary(Wedge(Bp,Cp)); % BpCp=[-b*(a^2-2*b^2), 2*a^2*t, -a^2*b]
Nul1=Factor(det([d; AC; BpCp]))
% On trouve Nul1=0, donc c'est gagné

J=SimplifieBary(Wedge(d,AC)); % J=[-a^2*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2); b*(a^2-2*b^2)]

%-----------------------------------------------------------------------
% Les droites d, (AC'), (B'C) sont concourantes en K

ACp=Wedge(A,Cp); % ACp=[-(a^2-2*b^2)*(b+2*t), 0, -a^2*b]
BpC=SimplifieBary(Wedge(Bp,C)); % BpC=[-(a^2-2*b^2)*(b+2*t), -2*a^2*t, -a^2*(b+2*t)]
Nul2=Factor(det([d; ACp; BpC]))
% On trouve Nul2=0, donc c'est gagné

K=SimplifieBary(Wedge(d,ACp)); % K=[-a^2*b; -(a^2-2*b^2)*(b+2*t); (a^2-2*b^2)*(b+2*t)]

%-----------------------------------------------------------------------
% Les droites d, (A'D), (BD') sont concourantes en J'

ApD=Wedge(Ap,D); % ApD=[(a^2-2*b^2)*(b+2*t), a^2*b, 0]
BDp=SimplifieBary(Wedge(B,Dp)); % BDp=[(a^2-2*b^2)*(b+2*t), a^2*(b+2*t), 2*a^2*t]
Nul3=Factor(det([d; ApD; BDp]))
% On trouve Nul3=0, donc c'est gagné

Jp=SimplifieBary(Wedge(d,ApD)); % Jp=[-a^2*b; (a^2-2*b^2)*(b+2*t); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t)]

%-----------------------------------------------------------------------
% Les droites d, (A'D'), (BD) sont concourantes en K'

ApDp=Wedge(Ap,Dp); % ApDp=[b*(a^2-2*b^2), a^2*(b+2*t), 0]
BD=SimplifieBary(Wedge(B,D)); % BD=[b*(a^2-2*b^2), a^2*b, -2*a^2*t]
Nul4=Factor(det([d; ApDp; BD]))
% On trouve Nul4=0, donc c'est gagné

Kp=SimplifieBary(Wedge(d,ApDp)); % Kp=[-a^2*(b+2*t); b*(a^2-2*b^2); -b*(a^2-2*b^2)]

%-----------------------------------------------------------------------
% E et E' divisent harmoniquement le segment [JK]

j=Vecteur(I,J); k=Vecteur(I,K); e=Vecteur(I,E); ep=Vecteur(I,Ep);
Nul5=Factor(Birapport(j(2),k(2),e(2),ep(2))+1)
% On trouve Nul5=0, donc c'est gagné

%-----------------------------------------------------------------------
% E et E' divisent harmoniquement le segment [J'K']

jp=Vecteur(I,Jp); kp=Vecteur(I,Kp);
Nul6=Factor(Birapport(jp(2),kp(2),e(2),ep(2))+1)
% On trouve Nul6=0, donc c'est gagné