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Bonsoir
En fait voici le lemme en question
lemme 1.1 soit [tex]f[/tex] une fonction de [tex]L^{1}(\Omega)[/tex]; [tex]u[/tex] une solution faible du [tex](S(b,F,f))[/tex]. Alors
[tex]\int_{\Omega}sign_{0}^{+}(u-z)\{(u-f)\xi+[a(\nabla b(u),b(u))-a(\nabla b(z),b(z))]\cdot\nabla \xi\}\leq\int_{\Omega}sign_{0}^{+}(u-z)\nabla\cdot a(\nabla b(z),b(z))\xi[/tex]
Pour tout [tex](z,\xi)\in L^{\infty}(\Omega)\times(H^{1}\cap L^{\infty}(\Omega)[/tex], telle que [tex]\xi\geq 0, b(z)\in H^{1}(\Omega),b(z)\;n’appartenant \;pas \;à \;E \;p.p \;dans\; \Omega, \nabla\cdot a(\nabla b(z),b(z)) \in L^{1}(\Omega) \;et\; (b(u)-b(z))^{+}\cdot\xi=0\;sur\;\Gamma.[/tex]
[tex]
sign_{0}^{+}(s)=[/tex]
[tex]\begin{cases}
1\; &si\; &s>0\\
0\; &si\; &s\leq0,
\end{cases}[/tex]
[tex]a(\xi,s)=\xi-F(s), \forall \xi \in \mathbb{R}^{N},s \in \mathbb{R}[/tex]