Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

J'ai recopié sans véritablement comprendre car je devais partir faire des courses.

J'ai effectivement froncé les sourcils : comment peut-on déterminer AH, alors que le produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ ne dépend absolument pas de la distance AH ?
(J'ai à mon retour demandé d'expliquer. Les explications fournies n'expliquent en fait rien.)

Les voies pédagogiques que je mentionnais passent donc nécessairement par savoir impérativement distinguer le vrai du faux, de façon à ne pas être mené en bateau. Ce qui est en réalité une excellente formation !

Bonne soirée.

PS : Je pense qu'il doit y avoir une vraie solution via le produit scalaire. Mais elle ne se laisse pas facilement appréhender.

J'ai continué par la question suivante :
« Comment alors démontrer que la longueur HK est égale au demi-périmètre du triangle ABC ? »

Voici la réponse :

J'avoue : j'ai triché en posant la question à Mistral AI. (Je n'utilise plus Open AI du fait d'une insuffisance dans son SAV.)

Voici sa réponse :

Bonsoir ou bonjour à tous,

Effectivement, ce fil est tout à fait particulier !!

Si j'ai bien interprété ton paragraphe, on demande de calculer la longueur du côté [BF]. On ne demande pas explicitement de la calculer uniquement en appliquant le théorème de Pythagore. Ce qui compte, c'est les 6 cm. C'est tout ! La façon de les calculer importe en réalité peu !

Je dirais que si le prof veut tester la bonne compréhension du théorème de Pythagore, il prendra des longueurs qui ne correspondent pas à un "triangle 3, 4, 5" (pour ne pas répéter "triangle multiple du triangle 3, 4, 5").
S'il veut tester la compréhension du théorème et le sens de l'observation, qui en maths est primordial, il pourra utiliser un triangle 3, 4, 5.
Le tout, c'est d'avoir préalablement expliqué que le triangle 3, 4, 5 est un triangle rectangle (mais il est tellement mis en exergue dès le début que les élèves l'ont suffisamment intégré), et que tout triangle dont les longueurs sont un multiple de celles d'un triangle rectangle est lui-même rectangle. (Cela peut être proposé en exercice.)

Note : Bien évidemment, le triangle BOF est de mon cru. J'aime bien aussi le triangle HIE.  (Mettre l'accent ad hoc sur le E.  :-)

Ce n'est pas l'exemple qui pour moi est important : c'est de m'assurer qu'il n'y a pas cachée dans la tête de mon élève une erreur du même ordre. Je procède donc dans une logique de "déminage", et malgré ces déminages, je découvre en permanence des erreurs que je ne connaissais pas, et que je ne pouvais donc pas prévoir.

Vous ne pouvez pas imaginer l'extraordinaire créativité en matière d'erreurs et de confusions que je vois en permanence, et donc, de fait, la très faible assimilation des concepts, y compris parmi mes élèves les plus forts  !

Les deux plus jolies :

• Pour un capital initial de 1000 euros placé à 3 %, un élève de Première ES a écrit : $C_{n+1} = 1,03C_{n} + 1000$
  La prof a totalement manqué d'humour : NON ! au stylo rouge.

  « Tu te rends compte de ce que tu as écrit ? Non seulement ton capital a augmenté de 3 % à la fin de la première année, mais, en plus, la banque te verse une prime égale au montant déposé !! Donc les 3% pour l'année suivante porteront sur 1030 + 1000 = 2030 euros !! Et à la fin de la seconde année, boum, une nouvelle prime de 1000 euros ! Même l'escroc le plus talentueux n'oserait proposer un tel placement ! » (Je lui ai alors raconté Bernard Madoff.)

• Sur un exercice de contrôle de Première ES dans lequel il fallait calculer la moyenne d'une production sidérurgique à partir d'un tableau année par année, une élève a calculé... la moyenne des années.  :-)

J'ajouterai que je suis en permanence attentif à l'effet produit par mes expérimentations continuelles : si je vois que telle expérimentation est contre-productive, je l'abandonne. Donc, please, laissez-moi mener mes cours comme je l'entends ! (J'ai eu d'un seul coup envie de relire Le meunier, son fils et l'âne...)

Pourquoi ?
(Je vois pourtant dans les manuels des exercices consistant à déterminer si une ou un élève a tort ou raison en affirmant telle ou telle chose, ou d'analyser en quoi une copie est fausse. Et, comme le souligne justement Ernst, les QCM sont, par définition, bourrés de réponses fausses. Je rédige des corrigés de QCM détaillés en expliquant la logique des réponses erronées, lorsque cette logique est compréhensible : il y a parfois des réponses pour lesquelles on ne comprend pas cette logique.)

A propos du stylo rouge, je déteste l'utilisation que font les profs du rouge !

Déjà, des annotations du type "NON !", « Tu n'as rien compris ! » — mais c'est toi le prof, c'est ton métier de faire comprendre ! lorsque je me rendais compte qu'une ou un élève n'avait rien compris, c'était pour moi un drame, et je m'en excusais : « Pardon, je n'ai pas perçu que tu n'avais pas compris ! » —, « Aucun travail ! », etc. ne sont déjà pas plaisantes, alors en rouge...

(C'est d'ailleurs ce que les autres pays reprochent à la France : d'avoir une pédagogie "fouettarde", punitive.)

Sur ce, je me couche.
Bonne nuit pour les couche-tard, et bon dimanche à tous.

Bonsoir Ernst, bonsoir tout le monde,

Non, je n'ai pas rencontré l'élève standard, et de loin. Chaque élève est différent des autres, et ce qui est possible avec l'un n'est pas forcément possible avec d'autres. (Il y a même des élèves qu'il faut "lever au cric", celui-ci présentant toutefois une fuite : vous shadokez comme un malade, mais à la séance suivante, vous vous rendez compte que la fuite a eu raison de vos efforts.)

Ce que je constate de par ma pratique, que j'enrichis et améliore sans cesse, y compris grâce aux discussions que j'ai avec vous, c'est que mon approche si particulière fonctionne avec la majorité de mes élèves — intuitivement huit élèves sur dix —, que ce soit en cours particulier ou en stage.

Mais majorité signifie aussi minorité, à laquelle ma façon préférentielle d'enseigner n'est pas adaptée. Soit. J'essaie alors une autre approche, parfois sans succès notable. En général, dans cette situation, la séparation se fait alors d'un coté ou de l'autre : par exemple, je peux tenir une année scolaire mais ne souhaite pas continuer l'année suivante ; la séparation peut aussi provenir de la famille.

Lorsque je découvre une nouvelle erreur, je dis en riant à mon élève « En matière d'erreurs, vous avez une créativité insondable ! » (L'élève rit aussi.)
Mais je n'ai jusqu'ici jamais rencontré celle-ci !

Idem. Par contre, je rencontre très souvent $3^2 = 6$.

Bonne fin de soirée.

Concernant les trois théorèmes des milieux, j'explique qu'il peuvent s'appliquer à n'importe quel rapport, la condition impérative étant, naturellement, que les rapports soient comptés à partir d'un même sommet. On pourrait donc énoncer les "théorèmes des trois-cinquièmes" ou les "théorèmes des neuf-quarts".
Les élèves comprennent parfaitement que ces extensions relèvent de la logique du théorème de Thales.

Oui !!!

PS : Je crois que je vais investir dans l'acquisition de manuels Lebossé & Hémery. Je n'en ai malheureusement aucun.

Bonjour Yoshissime, bonjour à tous,

Oui ! Mille fois oui ! Que les exercices seraient plus intéressants s'ils donnaient l'impression de découvrir, de démontrer et de rédiger un théorème !

J'ai précisément en mémoire un exercice de géométrie dans le plan et dans l'espace de Terminale dont j'avais rédigé il y a exactement deux ans le corrigé explicatif détaillé pour une élève, Anne.
(Intensément pris par mon projet, je n'arrive malheureusement plus, en ce moment, à rédiger des corrigés explicatifs, ce que j'appelle "mon SAV", car un seul corrigé pouvait facilement représenter une dizaine d'heures, voire le double. J'ai tout un rayonnage rempli de mes écrits rédigés pour tel ou tel élève. Je suis peut-être loin des écrits accumulés par Yoshi, mais cela représente un volume conséquent.)

L'exercice en deux parties, l'une dans le plan, l'autre dans l'esapce, faisait intervenir une translation particulière suivie d'une symétrie elle aussi particulière.

Voici d'abord ce que j'ai noté sur le manuel : « Exemple type d'exercice GPS ! Ne faisant pas comprendre la logique ! Sans intérêt, alors qu'il est intéressant. »

Et voici ce que j'ai écrit à Anne :

Erratum : "l'ordre des transformations" et non "l'ordre des informations".

J'ai alors réécrit l'énoncé de façon plus générale, sans traiter de cas particulier, en le commençant par

et en le terminant précisément par les questions

J'ai ensuite regretté de ne pas avoir écrit « Quel théorème venez-vous de démontrer ? » à la place de « Formulez de façon générale [...] ».

Bonne journée à tous.
@+

Bonjour à tous, bonjour bien cher Doc,

Ton rappel "poudrique" m'a fait sourire. C'est bien là l'intérêt du feuilleton : on attend plus ou moins impatiemment la suite.  :-)

Outre l'effort de programmation en JavaScript d'une fonctionnalité d'interface sophistiquée, qui nous a demandé, à Chat et à moi, pas mal de travail et d'essais successifs, j'ai eu à subir lundi soir une perte financière relativement conséquente qui m'a coûté, et me coûte encore, pas mal de temps, mais, surtout, pas mal d'énergie mentale. (Disons que j'ai "bénéficié" d'un "cours particulier" à un taux horaire de premier ordre...)
Donc, effectivement, tout n'allait pas pour le mieux.

Revenons à nos moutons rectangulaires 3, 4, 5.

L'élève de Quatrième qui a de fait initié cet intéressant débat a écrit sur sa copie de contrôle « On remarque que le triangle est un multiple du triangle 3, 4, 5. Donc il est rectangle. »
Annotation du prof : « Intéressant ! Très bien ! »
(Je vous adresserai la photo de cet extrait lorsque l'élève aura récupéré sa copie, pour laquelle il a eu 19.)
L'élève : « C'est dommage qu'on ne nous prévienne pas pour les multiples du triangle 3, 4, 5 car les exercices sont bourrés de triangles 3, 4, 5 ! »

Un très grand nombre d'exercices sont basés sur des simplifications qu'il faut savoir remarquer : racine évidente de polynômes du second degré, identités remarquables cachées qu'il faut, précisément, remarquer — une identité remarquable, c'est fait pour être remarquée :-) —, etc.
Si on remarque ces simplifications, la résolution de l'exercice peut être rapide et simple. Si on ne les remarque pas, on peut désagréablement patiner, d'où coût en temps et, surtout, en stress pouvant faire rater le contrôle.
La véritable difficulté est de prendre le temps de déceler la, ou les, simplifications plus ou moins cachées qu'a utilisées l'auteur de l'exercice.

Pourquoi alors n'aurait-on pas le droit de remarquer que le triangle étudié est un multiple du triangle 3, 4, 5, à plus forte raison si le prof a préalablement montré, preuve aisée à l'appui, qu'en multipliant (ou en divisant) les trois côtés d'un triangle rectangle par un même nombre, on obtient un triangle rectangle "ressemblant" au premier ?!

Séance de mercredi dernier avec cet élève. Je m'étais fait le pari que je pourrai sans difficulté lui expliquer les formules d'Al-Kashi, et donc lui montrer que l'égalité de Pythagore est en réalité un cas particulier d'une logique générale applicable à n'importe quel triangle.
Je lui ai donc rapidement expliqué les rapports trigonométriques de base dans un triangle rectangle, en lui précisant qu'il les verra en Troisième, et en lui indiquant que ces rapports sont utilisables pour n'importent quels angles, et pas seulement pour les deux angles aigus d'un triangle rectangle, ce qui est vu en Première. Je lui ai aussi montré l'utilisation de la touche "cos" et de sa fonction associée "Arccos" sur sa célèbre calculette verte.
Je lui ai alors énoncé la logique, en français, des formules d'Al-Kashi, en lui précisant qu'elles sont vues en Première option maths. Et ensuite, vogue la galère ! Je lui ai fait calculer longueurs de côté et mesures d'angle de triangles absolument quelconques, dont certains avec un angle très obtus, et donc deux angles très aigus, ce qui l'a littéralement fasciné : « Ah oui, ce sont vraiment des triangles quelconques ! ».
Je me suis même offert le luxe de lui expliquer la notion de radian...

J'expérimente sans cesse, et ose de plus en plus. Avec à chaque fois la presque surprise de voir avec quelle facilité "ça passe", avec quel plaisir les élèves comprennent en toute facilité des notions normalement vues bien plus tard, voire en Prépa, et avec quel plaisir ils résolvent facilement des exercices totalement fantaisistes et délirants qu'aucun prof normalement constitué n'oserait proposer — justement, je ne suis pas un prof "normalement constitué" —, ce qui les rend fiers. Ils se sentent alors intelligents !
(L'année dernière, une élève de Première m'a dit « J'ai l'impression qu'on nous prend pour des débiles ! »  « A un point que tu n'imagines pas ! »)

Et ceci, bien cher, est possible pas seulement dans un contexte de cours particulier avec un élève qui a oublié d'être bête, mais aussi en stage ou en classe, avec des élèves disposant de capacités de compréhension hétérogènes.

Mes certitudes, basées sur un grand nombre d'expériences — je ne sais combien de centaines —, sont les suivantes :

1) A partir du moment où il n'y a pas de rupture conceptuelle et où on reste dans la même logique, les élèves peuvent comprendre BEAUCOUP PLUS que ce qu'impose le sacro-saint programme relatif à leur niveau scolaire officiel !

• Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à montrer la logique de $(a + b + c)^2$ en l'appliquant à un développement de type $(5a  -3b -7c + 10d)^2$ ?

• Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à expliquer ce qu'est une racine cubique — quelle est la racine cubique de 8 ou de 27 ? en général pas plus de deux secondes de réflexion —, une racine quatrième, une racine n-ième ?
  Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à expliquer à partir de $a^m \times a^p = a^{m + p}$ et de $a = a^1$ que $\sqrt {a} = a^{\frac{1}{2}}$, et que plus généralement que $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
  Mieux, en faisant observer que $\frac{3}{2} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 3$ on peut expliquer que $a^{\frac{3}{2}}$ désigne, pour $a$ positif le cube de la racine carrée, ou la racine carrée du cube.

• Quelle rupture conceptuelle, pour revenir à mon expérimentation, y a-t-il à montrer la logique des formules d'Al-Kashi ?
  Ah oui, ces dernières introduisent la notion de cosinus — je ne parle même pas de celle de produit scalaire. Hé bien, introduisons-la rapidement, le principal étant de faire comprendre que l'égalité de Pythagore est un cas particulier.

• Quelle rupture conceptuelle — j'arrêterai là mon anaphore "quelle rupture conceptuelle ?" ; je pourrai fournir toute une charretée d'exemples — y a-t-il à faire comprendre la logique de la dérivée d'un produit d'un nombre quelconque de fonctions ? Pourquoi s'arrêter à la seule formule ânonnée un nombre incalculable de fois  $(uv)' = u'v + uv'$ ?
  Pourquoi ne pas demander de déterminer la dérivée seconde de ce produit (les élèves remarquent immédiatement l'analogie avec l'identité remarquable) ?
  Et la dérivée seconde du produit de plusieurs fonctions ?
  Und so weiter.

2) Plus on élargit les concepts étudiés, plus on établit de connexions avec les autres notions, et mieux les élèves comprennent !
A l'inverse, le cloisonnement strict entre les notions — cette année nous étudions pile, l'année prochaine nous étudierons face ; vous n'avez pas encore étudié cette notion, on ne peut donc l'évoquer — nuit considérablement à la compréhension : on explique en détail une pièce de puzzle sans expliquer comment elle s'insère dans l'ensemble.

3) Je suis absolument opposé à ce que j'appelle la "démonstratite aiguë", c'est-à-dire ce prurit consistant à vouloir systématiquement démontrer toutes les notions utilisées. (Faut-il subir la démonstration de tout le fonctionnement d'un téléphone mobile pour pouvoir l'utiliser ?)
Une démonstration n'est à mon sens intéressante et, surtout, utile que dans la mesure où elle permet de retrouver facilement une formule — mémorisez le moins possible, retrouvez le plus possible ! —, ou lorsqu'elle permet de se convaincre d'une donnée a priori peu intuitive.

Pas plus tard qu'hier soir, un élève de Terminale s'énervait contre la démonstration à-la-mords-moi-le-nœud — contrairement à ce qu'on pourrait penser, il ne s'agit pas d'une expression grossière : https://fr.wiktionary.org/wiki/%C3%A0_l … -n%C5%93ud — de son prof pour démontrer que la limite de $\dfrac{e^x}{x^n}$ quand la variable tend vers plus l'infini est plus l'infini — « mais c'est évident que la fonction exponentielle augmente beaucoup plus rapidement que n'importe quelle puissance ! » — , alors que la démonstration en partant de $x = n \times \dfrac{x}{n}$ est toute simple.

Croyez bien que les élèves comprennent parfaitement « on démontre que », et ne demandent la démonstration que celle-ci leur permet de mieux comprendre. (Par ce que j'observe, ces démonstrations continuelles sont ressenties comme une véritable violence qui contribue sensiblement à les dégoûter des maths.)

Sur ce, je vous laisse, chers amis bibmathiens.

(Vous aurez sans doute perçu que je ne réponds pas à une phrase particulière d'un message, mais que je réponds de façon globale à ce principe qui consiste à ne présenter une notion que si les notions préalables ont été dûment démontrées et analysées, sous peine de (profondément) perturber les élèves.)

Bonne soirée de samedi.
Bien cordialement,
Borassus-le-Rebelle

Bonsoir à tous,

Etant revenu de mon cours de deux heures de ce matin, ayant déjeuné et ayant consacré un peu de temps pour moi, je peux continuer ma réponse "feuilletonnée".

Mais, bien cher, je suis en permanence en conflit avec le professeur : quand l'élève m'annonce que tel sujet a été abordé en classe, je lui demande si je peux d'abord lui expliquer le sujet à ma façon, ce que l'élève accepte toujours, quitte à ensuite faire la synthèse avec l'enseignement du prof. En général, ma façon d'expliquer, effectivement très différente, plaît davantage. (« En une heure et demie avec vous, j'ai plus compris qu'en une semaine de cours. »)

Les profs doivent effectivement respecter une certaine "ligne du parti" mais ont tout de même une certaine latitude dans la façon dont ils l'appliquent. Je vois donc dans les notes et polycopiés de cours, et dans les exercices étudiés, certaines individualités, en particulier chez les professeurs du secteur privé.

Il n'y a pas en permanence un "commissaire du peuple" assis au fond de la classe, prêt à sanctionner tout déviationnisme. Et il n'y a pas dans la classe des caméras de vidéo-surveillance enregistrant la teneur du cours.

Mais, pour revenir au sujet initial, est-ce vraiment un déviationnisme que d'expliquer qu'en multipliant les trois longueurs d'un triangle rectangle par un même nombre, on obtient un triangle rectangle, et que bon nombre d'exercices sont construits sur le schéma 3,4,5, exemples concrets à l'appui, ce qui permet de déterminer très rapidement la longueur demandée, ne serait-ce que pour savoir à quelle valeur on doit aboutir en appliquant le raisonnement académique ?

On peut alors, en passant, indiquer qu'en multipliant les trois longueurs de n'importe quel triangle par un même nombre, on obtient un triangle semblable au premier, c'est-à-dire "ressemblant" à celui-ci, avec les mêmes angles. L'élève voit alors que la multiplication des trois longueurs d'un triangle rectangle n'est qu'un cas particulier d'une logique générale. Et il accepte très volontiers le fait que la notion de triangles semblables soit développée un peu plus tard.

"Logique générale", c'est quelque chose que je cherche en permanence à montrer  : « Les formules qu'on vous fait apprendre sont le plus souvent des cas particuliers de logiques générales, qui, elles, n'ont pas besoin de formules. ». Et une fois la logique générale comprise, les formules et théorèmes particuliers deviennent simples et quasi naturels, et sont surtout compris comme cas particuliers.

Non, résolument non ! J'en fais quotidiennement l'expérience : les élèves comprennent parfaitement qu'il peut y avoir plusieurs façons d'aborder un sujet, et comprennent aussi la nécessité de "faire l'âne pour avoir du son" — je leur apprends l'expression — et donc de faire comme le prof demande — surtout si le prof semble assez "caractériel" ⁽¹⁾ —, tout en comprenant qu'il y a d'autres façons de voir et de raisonner.
Par exemple, pour illustrer les différentes interprétations possibles d'une expression, je demande de répertorier quelques façons d'interpréter $\dfrac{ab}{c}$ :
$a \times \dfrac{b}{c}$  ;  $(ab) \times \dfrac{1}{c}$  ;  $\dfrac{a}{c} \times b$  ;  $\dfrac{1}{c} \times (ab)$  ;  $\dfrac{1}{c} \times a \times b$.
Quelle interprétation doit avoir "force de loi" ??

(1) Une élève de Première m'a raconté récemment la réaction de son prof lorsque quelqu'un dans la classe pose une question à propos d'une autre façon de présenter un concept ou de résoudre un exercice : « Ecoutez, je suis prof agrégé ; j'enseigne depuis vingt ans ; vous n'allez pas m'apprendre comment je dois enseigner ! ».
Oui, Monsieur ! Bien, Monsieur ! Comme vous voudrez, Monsieur ! Nous ne poserons plus de questions, Monsieur !)

Si j'étais si perturbant, crois-tu que les parents me garderaient pendant deux, trois ou quatre années — même élève ou fratrie — ou qu'il me recommanderaient à d'autres familles ?

Expérience de pensée totalement inutile pour moi : j'étais 37ème sur 37, et n'en souffrais pas outre mesure, même si j'essayais un tant soit peu de comprendre.
Par contre, je suis quotidiennement, sept jours sur sept, en contact de lycéens et, maintenant dans une moindre mesure, de collégiens, qui sont, souvent douloureusement et avec découragement, perturbés de ne pas comprendre les cours vus en classe, de ne pas comprendre la façon dont il faut résoudre telle ou telle typologie d'exercices, de ne pas comprendre la logique d'ensemble des formules énoncées, de se recevoir des annotations rageuses et désobligeantes (voir le message précédent).

Normalement, sauf cas exceptionnels tels que maladie ou déscolarisation, le soutien scolaire, qu'il soit individuel ou organisé par des organismes dédiés,  ne devrait pas exister : les cours en classe devraient amplement suffire.
Et pourtant, « Estimé à plus de 2 milliards d’euros de chiffre d’affaires générés, le marché du soutien scolaire concerne plus d’un million d’élèves français sur un total de 12 millions d’élèves d’écoles, de collèges et de lycées. Ces dernières années, la demande de cours particuliers progresse d’environ 2% par an. Avec plus de 40 millions d’heures de cours de soutien scolaire dispensés par an, la France est en tête du classement européen.
Plus spécifiquement, selon un sondage TNS-Sofrès, il y aurait un collégien sur 5 et un lycéen sur 3 qui bénéficient de cours particuliers à domicile. Le budget annuel moyen des parents est de 1 500 euros avant la déduction fiscale permise depuis la loi Borloo de 2005. » (https://www.economiematin.fr/etat-des-l … hatgpt.com). »
Un lycéen sur trois !! Cherchez l'erreur !

Extrait,  "légèrement" atypique, de mon CV :
Bac littéraire (1971) suivi de 3 années de licence de russe
Assimilation en autodidacte des programmes scientifiques de 2nde C à Maths Spéciales, et au-delà.
De 1974 à 1979, nombreux cours de mathématiques de la 6ème à Maths Spéciales (plus de 20 h par semaine)
Colleur remplaçant de mathématiques en Maths Sup, Maths Spé et Prep' Hec.

Je te raconte de temps en temps à mes élèves et à mon entourage comme quelqu'un qui ne perçoit comme "vraies maths" que les seules maths de Concours général ou d'Olympiades, et qui vitupère à répétition contre "le niveau abyssal" de l'enseignement et des élèves.

N'ayant pas été élevé dans un contexte de "vraies maths", je ne ressens pour ma part rigoureusement aucune vitupération contre le niveau de maths. Je cherche seulement à montrer à mes élèves qu'à partir du moment où ils comprennent la logique d'une notion, ils peuvent résoudre avec une facilité qui les stupéfie des exercices à première vue effrayants.
(Dernièrement,  lors de notre premier cours, j'ai vu la mâchoire d'une élève de Terminale littéralement se décrocher de stupéfaction devant une dérivée complètement fantaisiste à six niveaux d'imbrication dont elle avait écrit la structure en à peine une minute. Vous avez sans doute noté que les dérivées de fonctions composées à plusieurs niveaux d'imbrication sont l'une des mes "spécialités". :-)

Ce qui, par contre, me désole est de voir le manque de rigueur et de cohérence de certains profs — je dis alors à l'élève, qui se rend compte de ce manque de cohérence « Il paraît que c'est rigoureux, les maths ! » ; acquiescement dubitatif de l'élève— et de me rendre compte que des profs, même de lycées prestigieux, ne comprennent visiblement pas la logique des formules qu'ils enseignent.
Deux exemples concrets, parmi (beaucoup) d'autres :

• Encadré et mis en gras « Un entier $a$ est multiple de l'entier $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$
  Exemple à la ligne suivante : « $21 = 7 \times 3$, donc $21$ est multiple de $7$. »
  Pourquoi ne respectez-vous pas la structure que vous avez vous-même encadrée et mise en gras juste au-dessus ??!!

• J'explique que la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au nombre de termes de la somme multipliée par la moyenne du premier et du dernier termes. (C'est tout simplement comme si tous les termes de la somme étaient égaux à cette moyenne.)
  Les formules que je vois parfois :

  $\dfrac{n - p + 1}{2} \times (u_p + u_n)$ — et si le nombre de termes est impair ?? que signifie concrètement la somme du premier et du dernier termes ?? —

  ou $\dfrac{(n - p + 1)(u_p + u_n)}{2}$ — quelle est la signification de $(n - p + 1)(u_p + u_n)$ ?? —.

  
  

  Dans les manuels, je vois l'énoncé « le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier termes.
  Figurez-vous que dans le langage "non savant", la demi-somme de deux nombres s'appelle "la moyenne des deux nombres". A quel âge un enfant sait calculer la moyenne de deux nombres ? Demander-lui de calculer la demi-somme de deux nombres...

Ayant été suffisamment prolixe, j'arrêterai ici la deuxième partie de ma réponse.
Merci de votre attention.

La suite suit. (Продолжение следует.)
Prière de ne pas répondre pour l'instant (même si forte démangeaison :-).

Bonne soirée à tous.

Bonsoir bien cher Doc, bonsoir à tous,

Mais si, mais si, je comprends. Et suis, comme d'habitude, peu d'accord avec ce que tu écris.
Mais, devant partir en cours pour toute l'après-midi, je n'avais pas le temps de te répondre comme je le voudrais.
Je le ferai peut-être demain, si j'en ai la disponibilité.

Bonne soirée à tous.

Bonjour DeGeer, bonjour à tous,

Je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'introduire ou d'utiliser la notion de triangles semblables.

Il suffit d'expliquer, en le démontrant, que tout triangle généré en multipliant les trois longueurs d'un triangle rectangle par un même nombre vérifie l'égalité du théorème de Pythagore, et est donc un triangle rectangle. (Cela peut d'ailleurs être énoncé comme corollaire du TdP.)

Si le triangle ABC est rectangle en B, AC² = AB² + BC².
Si maintenant on construit un triangle A'B'C' en multipliant les trois longueurs par un nombre $k$, on a d'une part A'C'² = (kAC)² = k²AC²,
et d'autre part A'B'² + B'C'² = (kAB)² + (kBC)² = k²AB² + k²BC² = k²(AB² + BC²) = k²AC².
De par la réciproque du théorème de Pythagore appliquée au triangle A'B'C', ce triangle est rectangle.

Cela est vrai notamment pour tout triangle multiple du triangle 3, 4, 5.

Maintenant, ouvrez votre manuel au chapitre consacré au Théorème de Pythagore et amusez-vous à repérer le plus rapidement possible (et à résoudre la plus rapidement possible) les exercices construits à partir d'un multiple du triangle 3, 4, 5. Vous verrez qu'il y en a un certain nombre, toute simplement parce que ce sont des exercices faciles à concevoir.