Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je voudrais juste savoir si on peut (si c'est pas impossible ou trop difficile), trouver une forme explicite aux suites récurrentes de forme "normale", par normale je veux dire qui ne mettent en jeu que des opérations élementaires.
Par exemple, est-il possible de trouver une forme qui ne dépend que de $u_0$ et de $n$ pour une suite comme celle ci : $u_0 =2$, $u_{n+1}=\frac{u_n^2+8u_n-4}{2u_n}$

Merci d'avance

Bonjour,
Sur le site, au niveau des exercices proposés, il y a un exercice de suites dont je n'arrive pas à vraiment comprendre la démarche entreprise pour le résoudre.
L'énoncé est le suivant :

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{Z}$ , convergente. Montrer, en utilisant la définition, que $(u_n) $ est stationnaire.

Et la réponse consiste en l'usage d'un $\epsilon$ de valeur $1/4$ et de l'inégalité triangulaire d'une manière très semblable à celle utilisée pour démontrer que toute suite convergent dans $\mathbb{R}$ est suite de Cauchy.

Mais je me demandais si la démarche que j'ai entrepris personnellement pour résoudre cet exercice peut être considérée comme correcte, puisqu'elle n'utilise pas les mêmes éléments de raisonnement que celle du corrigé.

Voici ma façon de procéder qui est super simple :
Prenons $\epsilon = 1/3$  (ou n'importe quel autre chiffre inférieur à $1$ et supérieur à $0$)
Utilisons ce $\epsilon$ dans la définition de convergence, ce qui nous donne qu'à partir d'un certain seuil $n_\epsilon$, toutes les valeurs de $u_n$ sont à distance inférieure à $1/3$ du point $l$ vers lequel la suite tend. [$n\geq n_\epsilon \Rightarrow |u_n-l|<\epsilon=1/3$]
Or, deux entiers qui ont un écart inférieur à $1$ sont égaux (je sais pas si on doit justifier ça avec une définition ou quoi, mais je pense que la simple compréhension ""intuitive"" des entiers permet de le faire).
Et donc, $u_n=l$ à partir du seuil $n_\epsilon$, et comme la définition d'une suite stationnaire est qu'elle est égale à une certaine valeur à partir d'un certain seuil, nous avons la suite $u_n$ qui est égale $l$ à partir du seuil $n_\epsilon$. Et donc que la suite est par conséquent stationnaire.

Voilà, je sais pas si ce que j'ai écrit est erroné, correct ou n'a aucun sens, et je compte sur vous pour m'éclairer
Merci d'avance

Bonjour,

Ma question est, comment appelle-t-on les preuves d'analyse en $\epsilon$, $\delta$ qu'on utilise souvent ?
Y a-t-il plusieurs noms selon le type de preuve ?

Comme simple exemple, la preuve de la convergence des suites de Cauchy réelles (critère de Cauchy), comment l'appelle-t-on.
Je parle de la preuve qui est notamment utilisée dans cette vidéo ci à partir de 14:30.

Merci d'avance

Bonjour,

Je voudrais juste savoir comment on appelle le type de preuve utilisé quand on prouve l'inégalité triangulaire en valeur absolue (pas en algèbre linéaire avec les normes, mais [tex]\mathbb{R}[/tex].
Je parle de cette preuve là :

Quand [tex]xy\geq0[/tex] : [tex]|x+y|=|x|+|y|[/tex]
Quand [tex]xy< 0[/tex] : [tex]|x+y| \leq |x| + |y|[/tex]

Je détaille pas car c'est simple, mais je ne sais pas dans quel type de preuve on peut ranger cela, merci de m'aiguiller.