Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Wiwaxia !

Oui le contraste ... je ne maitrise pas assez Maple pour ça !

à plus, B-m

Bonjour à tous !

Et on peut faire ça en partant du terme p jusqu'au terme n ...

B-m

Bonsoir Tym !

Les projets durent parfois toute la vie ...

Je suis pris ce WE, je reverrai ton projet la semaine prochaine, je dois retrouver le programme ggb sur un autre ordi ...

à plus donc, Bernard-maths

onsoir à tous !

Suit du meccano : les segments des côtés, et les points des sommets.

On dispose pour chaque côté de 2 plans perpendiculaires et de 2 fonctions indicatrices pour limiter ...

Bravo ! Mais j'ai vraiment suivi cela en survolant, et du coup retrouvé le bon fil en fin de conte (ou compte ?) !

Merci pour tes relances ...

B-m

Et pourquoi pas A_M^p * A_N^p / p! ???

B-m

Je continue ... Les équations des 3 plans sont telles que les expressions f1, f2 et f3(x, y, z) sont > 0 do côté du triangle ABC.

Du coup on peut fabriquer des fonctions indicatrices i1, i2 et i3 telles que i1(x, y, z) = signe[racine(f1(x, y, z)) + 0.5], qui est égale à 1 sur le plan (P1) et dans le demi plan du côté de C. i1 = signum(sqrt(n1x*(x - xa) + n1y*(y - ya) + n1z*(z - za)) + 0.5). Non définie sur le demi espace opposé à C.

On a de même : i2 = signum(sqrt(n2x*(x - xb) + n2y*(y - yb) + n2z*(z - zb)) + 0.5), et i3 = signum(sqrt(n3x*(x - xc) + n3y*(y - yc) + n3z*(z - zc)) + 0.5).

Ces 3 fonctions ne sont pas définies sur les autres demis espaces.

On obtient le programme et figure :

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Avec le même triangle ABC ... dans l'espace, si on le regarde "de face", soit il est vu dans le sens trigo direct, soit le contraire, selon le côté du plan (ABC) où l'on est.

Regardons ABC dans le sens direct, et soit $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{AB}$ ^ $\overrightarrow{BC}$, alors $\overrightarrow{n}$ pointe vers nous, car le triplet $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{n}$ est direct.

Une équation du plan (ABC), de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ (et passant par A) est :

f(x, y, z) = nx*(x-xa) + ny*(y-ya) + nz*(z-za) = 0, avec $\overrightarrow{n}$ (nx, ny, nz) et A (xa, ya, za).

Considérons le point A' tel que $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{AA'}$, alors A' (xa+nx, ya+ny, za+nz).

Si on calcule f(A') = f(xa+nx, ya+ny, za+nz) = ... = nx² + ny² + nz² > 0 !

En conclusion, et de façon générale, si f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan, alors $\overrightarrow{n}$ (a, b, c) est un vecteur normal au plan, et f(x, y, z) > 0 du côté où pointe $\overrightarrow{n}$.

Cherchons maintenant les plans perpendiculaires à (ABC) et passant par les 3 côtés de ABC.

Soit $\overrightarrow{n1}$ = $\overrightarrow{n}$ ^ $\overrightarrow{AB}$, on a n1x := ny*(zb - za) - nz*(yb - ya); n1y := nz*(xb - xa) - nx*(zb - za); n1z := nx*(yb - ya) - ny*(xb - xa); alors $\overrightarrow{n1}$ est "dans le plan" (ABC), et pointe du même côté que C par rapport à la droite (AB) ...

et une équation du plan (P1) est : n1x*(x - xa) + n1y*(y - ya) + n1z*(z - za) = 0.

De même avec : $\overrightarrow{n2}$ = $\overrightarrow{n}$ ^ $\overrightarrow{BC}$, on a n2x := ny*(zc - zb) - nz*(yc - yb); n2y := nz*(xc - xb) - nx*(zc - zb); n2z := nx*(yc - yb) - ny*(xc - xb); et (P2) : n2x*(x - xb) + n2y*(y - yb) + n2z*(z - zb) = 0.

Puis $\overrightarrow{n3}$ = $\overrightarrow{n}$ ^ $\overrightarrow{CA}$, on a n3x := ny*(za - zc) - nz*(ya - yc); n3y := nz*(xa - xc) - nx*(za - zc); n3z := nx*(ya - yc) - ny*(xa - xc); et (P3) : n3x*(x - xc) + n3y*(y - yc) + n3z*(z - zc) = 0.

Voici le programme et les 3 plans :

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Pardon bridgslam, je n'avais pas bien lu tous les posts, et le tien en 2, pour moi va vers la solution !

Alors en "réfléchissant un peu plus", ce raisonnement marche pour remplir les lignes consécutives ... donc s'il en reste, il faut envisager en plus (par produit) des permutations de p lignes parmi M ???

B-m

PS : je viens de voir la réponse de Michel ci-après moi, et je pencherais vers la réponse qu'il donne : C_M^p * A_N^p

Bonjour à tous !

Sur les équations de triangles en 3D, il y a pourtant une formule que j'ai donnée il y a déjà 3 ou 4 ans. je vais la reprendre ici, et montrer ses limites !

Cette formule ressemble à celle donnée par Hewlett Packard pour sa HP25 en 1975.

Elle est "évidente" pour un triangle.

Je ne fais pas de dessin, suivez mentalement : soit un triangle ABC et M un point du plan (ABC) (pour commencer). On peut tracer 3 triangles MAB, MBC et MCA. On va constater que la somme des aires, de ces 3 triangles, est égale à l'aire de ABC si, et seulement si, M est intérieur au triangle ABC, ou sur son périmètre.  Ceci est encore vrai en 3D ... (pour finir).

Pour calculer les aires des triangles on utilise le produit vectoriel.

Soient A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) et C(xc, yc, zc) les 3 sommets en 3D et M(x, y, z), on a les 4 produits vectoriels :

$\overrightarrow{MA}$ ^ $\overrightarrow{MB}$ : [ (y - ya)*(z - zb) - (z - za)*(y - yb); (z - za)*(x - xb) - (x - xa)*(z - zb); (x - xa)*(y - yb) - (y - a)*(x - xb) ]
$\overrightarrow{MB}$ ^ $\overrightarrow{MC}$ : [ (y - yb)*(z - zc) - (z - zb)*(y - yc); (z - zb)*(x - xc) - (x - xb)*(z - zc); (x - xb)*(y - yc) - (y - yb)*(x - xc) ]
$\overrightarrow{MC}$ ^ $\overrightarrow{MA}$ : [ (y - yc)*(z - za) - (z - zc)*(y - ya); (z - zc)*(x - xa) - (x - xc)*(z - za); (x - xc)*(y - ya) - (y - yc)*(x - xa) ]

$\overrightarrow{CA}$^$\overrightarrow{CB}$:[ (yc - ya)*(zc - zb)-(zc - za)*(yc - yb); (zc - za)*(xc - xb)-(xc - xa)*(zc - zb); (xc - xa)*(yc - yb)-(yc - a)*(xc - xb)]

On sait que || $\overrightarrow{MA}$ ^ $\overrightarrow{MB}$ || = 2* aire(MAB), etc ... et || $\overrightarrow{CA}$^$\overrightarrow{CB}$ || = 2* aire(CAB).

Et on a donc la formule : || $\overrightarrow{MA}$ ^ $\overrightarrow{MB}$ || + || $\overrightarrow{MB}$ ^ $\overrightarrow{MC}$ || + || $\overrightarrow{MC}$ ^ $\overrightarrow{MA}$ ||  = || $\overrightarrow{CA}$^$\overrightarrow{CB}$ ||

qui caractérise les points du triangle plein, bords compris.

Voici le programme Maple correspondant :

Les vues sont presque de face et presque de profil.

Vous remarquerez, qu'après la zone en rouge, se glisse un + 0.02 : c'est un epsilon ajouté au membre de droite, sinon Maple ne trac rien !
L'équation est "trafiquée" pour donner du volume au triangle cherché, alors il devient visible !

De plus la définition de finesse du tracé g = 300 ! Demande d'une bonne précision des calculs !

En conclusion : cette équation est bonne mais demande des aménagements pour le tracé.

Nous verrons ensuite la méthode des fonctions indicatrices pour le même triangle, et on pourra comparer ...

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Bravo, c'est superbe ! J'ai beaucoup oublié, j'ai pourtant fait math elem y'a 60 ans, j'étais second avec 16 de moyenne juste derrière un redoublant, mais il est vrai qu'on a très peu eu à pratiquer ces coniques ...

Bernard-maths

Bonsoir à tous !

Imod, je voudrais bien comprendre comment tu fais intervenir une hyperbole ... je ne vois pas du tout !

La gomme de cailloux m'a effacé le cerveau ...

Merci, et bonsoir,

Bernard-maths