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#1 Re : Entraide (supérieur) » $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$ » 30-10-2020 20:18:04
T'es sûr que t'es pas en train de chercher midi à quatorze heure ici ?
Oui, je complique trop la démonstration.
En fait la suite $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}$ est supérieur à $\frac{1}{2}$ dans une intervalle donc $N$, avec cette propriété, n'existe pas donc trouver un $n$ tel que $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ ne suffit pas. C'est ca qui me gène
#2 Re : Entraide (supérieur) » $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$ » 30-10-2020 20:13:37
Attention ! La strict croissance de la fonction logarithme népérien ne justifie pas du tout ton équivalence ! (Elle n'est pas définie en 0 déjà... et sauf erreur de ma part, je ne crois pas que les simplification soient justes....).
A ce stade, regarde pour écrire un algorithme (en python Licence Maths-Info ?) faisant le boulot en considérant une suite... ou un raisonnement par tâtonnement.
Je suis certain qu'il ne faut pas utiliser les algorithmes pour l'instant.
#3 Entraide (supérieur) » $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$ » 30-10-2020 11:38:59
- jiangzeminnarienfaitdemal
- Réponses : 8
Bonjour,
Je suis en LDD1 Info-Math, et je dois déterminer $N$ tel que $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$.
Je simplifie le côté gauche par $n$ pour obtenir $\frac{n+\ln{n}}{n^2}$ et je veux avoir une inéquation avec $0$ à l'autre côté donc $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}-\frac{1}{2}>0\Leftrightarrow\frac{-n^2+2n+2\ln{n}}{2n^2}>0$. Je supprime les $\text{ln}$ (elle est strictement croissante) : $\frac{n\cdot e^{-n^2+2n}}{e^{n^2}}>0$. Maintenant il faut montrer qu'il existe $n\in N^{*}$ tel que $n\cdot e^{-n^2+2n}>0$ pour tout $n\geq N$ et là je suis bloqué.
Merci d'avance pour vos conseils
#4 Entraide (supérieur) » Si $A$ ou $B$ est minoré, alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$ » 04-10-2020 22:39:17
- jiangzeminnarienfaitdemal
- Réponses : 2
Bonjour,
Soient $A\subseteq\mathbb{R}$ et $B\subseteq\mathbb{R}$ deux sous-ensembles non vides ayant au moins au point commun. Si $A$ ou $B$ est minoré, alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$.
Voici mon raisonnement :
On admet que $A\cap B\neq\emptyset$.
Si $A$ est minoré et $B$ n'est pas minoré alors $\inf A\leq a$ pour $\forall a\in A$ et il existe $b\in B$ tel que $b\leq a$ pour $\forall a\in A$, donc $\inf A\in B$. Comme $\inf(A\cap B)\leq x$ pour $\forall x (x\in A\land x\in B)$ alors $\inf A\leq\inf(A\cap B)$. Comme $\inf A\in\mathbb{R}$ (car $A$ est minoré) alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$.
Même raisonnement si $A$ n'est pas minoré et $B$ est minoré.
A ce point, je ne suis pas sûr si le même raisonnement s'applique encore ou il y a des fautes dans mon raisonnement précédent.
Merci d'avance.
#5 Re : Entraide (supérieur) » Sup, inf, max, et min d'une ensemble A » 27-09-2020 14:09:14
Bonjour,
Lorsque tu écris que $1\geq \frac 1n$ pour $n\in\mathbb N^*$ alors $M(A)=[1;+\infty[$, tu vas un peu vite...
Après tout, tu as aussi que $2\geq \frac 2n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$, et pourtant on n'a pas $M(A)=[2;+\infty[$....Tu dois non seulement prouver que $1$ est un majorant, mais que c'est le plus petit des majorants. C'est facile ici car $1\in A$.
Tu dois aussi prouver que $0$ est le plus petit des minorants de $A$. Pour cela, tu peux considérer $x>0$ et démontrer que ce n'est pas un minorant de $A$ (conseil : la suite $1/n$ tend vers $0$)...F.
Faut-il démontrer que la suite $\frac{1}{n}$ est décroissante et tend vers $0$ ou est-il dans ce cas évidente ?
Quelque chose comme ceci ? :
Premièrement, on sait que $\sup(A)=\min(M(A))$ et $1\geq\frac{1}{n}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$. Comme $1\in A$ (avec $1=\frac{1}{n}$ tel que $n=1$) et la suite $\frac{1}{n}$ est décroissante, alors $1$ est le plus petit majorant de $A$, donc $M(A)=[1,+\infty[$. Ainsi, $\sup(A)=\min([1,+\infty[)=1$.
Deuxièmement, pour $\inf(A)=\max(m(A))$, on sait que $0<\frac{1}{n}$ et la suite tend vers $0$ alors $0$ n'est pas un minorant de $A$ ($0\notin A$) alors $m(A)=]-\infty,0]$ ou encore $\inf(A)=\max(]-\infty,0])=0$.
#6 Entraide (supérieur) » Sup, inf, max, et min d'une ensemble A » 26-09-2020 11:47:46
- jiangzeminnarienfaitdemal
- Réponses : 5
Bonjour,
J'ai du mal à justifier ma réponse à la question suivante. Soit $A={\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}^*}$. Déterminer $\sup(A)$ et $\inf(A)$. Trouvez $\max(A)$ et $\min(A)$ s'ils existent.
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Premièrement, on sait que $\sup(A)=\min(M(A))$ et $1\geq\frac{1}{n}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ alors $M(A)=[1,+\infty[$ ou encore $\sup(A)=\min([1,+\infty[)=1$.
Deuxièmement, $\inf(A)=\max(m(A))$ et $0<\frac{1}{n}$ car $n>0$, alors $m(A)=]-\infty,0]$ ou encore $\inf(A)=\max(]-\infty,0])=0$.
Troisièment, $\max(A)=M(A)\cap A$, comme $1\in M(A)$ et $1\geq\frac{1}{n}$ alors $\max(A)={1}$ donc le maximum de $A$ est 1.
Enfin, $\min(A)=m(A)\cap A$, comme $0\in M(A)$ mais $0<\frac{1}{n}$ alors $\min(A)=\emptyset$ donc le minimum de $A$ n'existe pas.
\section*{Exercice 9}
On montre d'abord que $M(-A)=-m(A)$ et $\min(-A)=-\max(A)$. Soit $A=[a,b]$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ alors $-A=[-b,-a]$.
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La réponse est-elle bonne ?
Merci d'avance
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