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#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Picsou et ses économies » 11-07-2010 20:24:26
Bonsoir,
Effectivement, ce problème original a été créé de toutes pièces, Picsou n'existe pas ...
Le but de cette histoire est de donner une représentation schématique de l'exponentielle, en dessinant quelques ronds et un dodécagone.
#2 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Picsou et ses économies » 10-07-2010 20:26:20
Bonsoir,
Le taux n'est pas précisé de manière chiffrée, mais on peut facilement le déduire, sachant qu'il est indiqué que le plan permet de doubler le capital en vingt ans, sans compter les intérêts composés.
#3 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Picsou et ses économies » 09-07-2010 17:59:08
- ciceron2
- Réponses : 6
Bonjour,
... comme vous le savez peut-être, Picsou adore plonger dans des piscines pleines d'argent.
Dans sa maison, Picsou a une grande pièce carrée de 100 m² avec trois piscines de 1,5 m de hauteur. Au centre de cette pièce, il y a une grande piscine de 4 m de diamètre. Elle n'est pas tout à fait ronde, elle a plutôt la forme d'un polygone de douze côtés. A côté, on trouve deux piscines rondes, plus petites, faisant chacune 2 m de diamètre. Ces trois piscines sont toutes remplies de la même quantité d'argent, à proportion de leur taille, mais Picsou ne veut pas dévoiler la somme exacte de ses économies.
Afin de faire fructifier sa fortune, Picsou a contacté un banquier ; celui-ci lui a proposé un plan pour doubler son capital en vingt ans. Après avoir réfléchi, Picsou a rappelé le banquier en lui demandant que les intérêts sur le capital soient rémunérés aussi. Son banquier lui a proposé un calcul mensuel des intérêts comprenant la rémunération des intérêts précédemment acquis. Picsou a pris contact avec un autre banquier, qui fait une proposition alléchante. Ce dernier avance qu'au moyen de son système informatique, il peut effectuer la même procédure à l'échelle de la seconde. En imaginant la croissance exponentielle de sa fortune, Picsou jubile et n'hésite pas à confier son épargne à ce banquier.
Picsou envisage de stocker l'argent qui sera perçu à la fin de son placement en remplissant des petites piscines rondes comme les deux qu'il a déjà. Picsou se demande combien il lui faudra rajouter de piscines dans sa grande pièce pour arriver à tout stocker. Perdu dans ses calculs, Picsou décide de contacter des internautes férus de mathématiques. Pouvez-vous aider Picsou à résoudre son problème ?
#4 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Des approximations originales » 13-09-2009 16:53:39
Bonjour,
Golgup, je me sers d'une calculette surtout pour les vérifications.
Il y a plusieurs années, un original m'a contacté, il cherchait des relations entre e, [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex]. Il m'a amené à m'intéresser de près aux approximations fractionnaires de ces trois constantes. En effet, il existe des approximations fractionnaires de [tex]\pi[/tex] dont le numérateur ou le dénominateur sont des nombres de trois chiffres appartenant à la suite de Fibonacci : 377/120 et 732/233. 377 et 233 appartiennent à la suite de Fibonacci : 377/233 est une approximation du nombre d'or. On constate alors qu'on peut estimer grossièrement la valeur de [tex](\pi - \phi)[/tex] par le calcul suivant : 732/233 - 377/233 = 355/233. Et e dans tout ça ? Parmi les approximations fractionnaires de e, les plus connues sont 193/71 et 878/323. 193/71 peut s'écrire 965/355. Et 965, c'est 732 + 233. On aboutit à la relation suivante :
[tex]\frac {965} {355} = \frac {732 + 233} {233} \times \frac {233} {355} = \left(\frac {732} {233} + \frac {233}{233}\right) \times \frac {233} {355}[/tex]
Cela peut se traduire ainsi :
[tex]e \approx \frac {\pi + 1} {\pi - \phi}[/tex]
A partir de cette "formule", on déduit que :
[tex]e - 1 \approx \frac {\pi + 1 - (\pi - \phi)} {\pi - \phi} ; e - 1 \approx \frac {\pi + 1 - \pi + \phi} {\pi - \phi} ; e - 1 \approx \frac {\phi + 1} {\pi - \phi}[/tex]
De là, on peut dire :
[tex]\frac {\pi + 1} {\phi + 1} = \frac {\pi + 1} {\pi - \phi} \times \frac {\pi - \phi} {\phi + 1} \approx \frac {e} {e - 1}[/tex]
Quand je dis que j'aimerais savoir l'explication mathématique de cette trouvaille, je veux dire par exemple qu'on peut peut-être la comprendre en étudiant de près les séries ou les intégrales qui ont un rapport avec le nombre e et le nombre [tex]\pi[/tex]. Mais je ne suis pas assez savant pour ça. La seule chose que j'ai pu faire, c'est trouver l'égalité suivante sur le site de Wolfram,
[tex]\pi = x + 2 \sum^{\infty }_{k=1} \frac {\sin (k x)} {k}[/tex] pour x réel supérieur à 0,
et établir la somme que voilà, mêlant e et [tex]\phi[/tex] :
[tex]\sum^{\infty }_{n=1} \frac {e\,\sin (n\,\phi) - \sin (n)} {n} = 0,999935...[/tex]
Voilà ma réponse, Golgup !
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#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Des approximations originales » 06-09-2009 14:47:12
Dans le message précédent, j'ai parlé de la valeur approchée de [tex]\phi +1[/tex] à partir de la valeur de [tex]\pi[/tex] :
[tex]\phi + 1 \approx \frac {5} {6} \pi[/tex]
Cette comparaison entre la valeur de [tex]\pi[/tex] et celle de [tex]\phi + 1[/tex] peut s'écrire aussi de la manière suivante :
[tex]\frac {\pi} {\phi + 1} \approx \frac {\pi + 6} {\phi + 6} \approx \frac {6} {6 - 1}[/tex]
Que se passe-t-il si on compare la valeur de [tex]\pi + 1[/tex] et celle de [tex]\phi +1[/tex] ?
[tex]\frac {\pi + 1} {\phi + 1} = \frac {6.\pi + 6} {6.\phi + 6} \approx \frac {e} {e - 1}[/tex]
La symétrie entre les deux expressions est frappante :
[tex]\frac {\pi} {\phi + 1} \approx \frac {\pi + 6} {\phi + 6} \approx \frac {6} {6 - 1} ...................... \frac {\pi + 1} {\phi + 1} = \frac {6.\pi + 6} {6.\phi + 6} \approx \frac {e} {e - 1}[/tex]
N'est-ce pas poétique ? En tout cas, j'aimerais bien savoir comment cela s'explique mathématiquement. Ce ne sont que des approximations, mais je trouve que c'est quand même intéressant.
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Pour terminer, voici une approximation du nombre e à partir de [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex], dont la particularité est d'avoir les 7 premières décimales exactes :
[tex]e \approx \frac {5.\pi + 5} {\phi + 6} = 2,7182818...[/tex]
#6 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Des approximations originales » 09-08-2009 23:02:15
- ciceron2
- Réponses : 4
Bonjour,
Une des approximations les plus simples et plus connues concerne la valeur de [tex]\phi +1[/tex], soit [tex]\phi^2[/tex], approchée à partir de la valeur de [tex]\pi[/tex] :
[tex]\phi + 1 \approx \frac {5} {6} \pi[/tex]
Dans le même genre, on peut trouver une approximation de [tex]\pi +1[/tex] à partir de la valeur du nombre e :
[tex]\pi + 1 \approx \frac {5 e} { 6 - e }[/tex]
En rapprochant les deux formules précédentes, on peut donner l'approximation suivante du nombre e à partir de [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex] :
[tex]e \approx \frac {\pi + 1} {\pi - \phi}[/tex]
Il existe une autre approximation intéressante du nombre e à partir de [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex] :
[tex]e \approx \frac {7 \pi} {5 \phi}[/tex]
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Par ailleurs, on trouve des calculs mêlant le nombre [tex]\pi[/tex] et le nombre e qui ont un résultat surprenant, approchant un nombre entier.
Premier exemple, assez connu :
[tex]e^\pi - \pi \approx 20[/tex]
Second exemple, plutôt joli et facile à retenir, à tester avec sa calculatrice :
[tex]( \pi + 6 ) \times ( 6 - e ) \approx 30[/tex]
#7 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'illusion d'Hélène » 24-07-2009 11:49:56
Si j'ai bien compris, en simplifiant au maximum :
- pour un point pris dans une spirale d'or, le logarithme en base [tex]\phi[/tex] de la longueur du rayon est proportionnel à la longueur de l'angle.
#8 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'illusion d'Hélène » 29-06-2009 18:17:06
- ciceron2
- Réponses : 7
Bonsoir,
J'ai constaté qu'il était possible de construire approximativement un rectangle d'or à partir de la courbe du logarithme népérien (Hélène pour les intimes).
1) Tracer la droite y=1. Elle coupe la courbe au point (e,1). Tracer la droite x=e.
2) Tracer une droite "oblique" telle que y=x-e. Elle coupe la courbe approximativement au point d'abscisse [tex](\pi + 1) [/tex]. Tracer la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point.
3) Repérer le point (2,0).
4) Tracer une droite "oblique" telle que y=x-2. Elle coupe la courbe approximativement au point d'abscisse [tex]\pi [/tex]. Tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point. Elle coupe la droite y=x-e à un certain endroit. Tracer la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point.
5) La droite que nous venons de tracer coupe la courbe approximativement au point d'abscisse [tex](\pi - \phi)[/tex]. Tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point.
Résultat : On croirait voir un rectangle d'or. Trouvez-vous cela intéressant, intriguant, amusant ?
Cette bizarrerie peut s'expliquer par trois particularités :
[tex] \ln (\pi+1) - \ln (\pi-\phi) \approx 1[/tex]
[tex]\ln (\pi) \approx \pi - 2[/tex]
[tex]\ln (\pi + 1) \approx \pi + 1 - e [/tex]
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