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Bonjour,
j'ai un grand problème et je n'arrive pas à trouver la solution, ni à obtenir de réponse. Aidez moi s'il vous plaît.

Bonjour,
j'ai le problème aux limites suivant:

[tex]\begin{cases}
& y'' + \lambda y = 0,\\
& y(0)-2 y(2 \pi)=0,\\
& y'(0)-y'(2 \pi)=0
\end{cases}[/tex]
Comment voir s'il existe ou non des valeurs propres complexes à ce problème?

Voici ce que j'ai fait: On pose [tex]\lambda = \alpha + i \beta [/tex]où [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta [/tex]sont des réels quelconques, et non nuls. Pour déterminer la solution générale de l'équation, on pose [tex]y(x)=exp(rx)[/tex], et ainsi on obtient l'équation algébrique[tex] r^2 + \lambda = 0[/tex]. Les solutions dans \mathbb{C} de cette équation algébriques, sont [tex]ir [/tex]et[tex] -ir[/tex]. Ainsi, la solution générale de l'équation est [tex]y(x)= A exp(rix) + B exp(-rix)[/tex], où A et B doivent vérifier la solution du système (on note[tex] s=ir[/tex])
[tex]
\begin{cases}
A(1-2 exp(2 \pi s) + B (1-2 exp(-2 \pi s)=0\\
A(1 - exp(2 \pi s)) + B(exp(-2 \pi s)-1)=0
\end{cases}
[/tex]
Le déterminant de ce système est [tex]det = -6 + 3 exp(-2 \pi s)+  exp(2 \pi s)[/tex]. Ce déterminant est nul, ssi [tex]s=ir \in \mathbb{Z}^*[/tex], qui implique qu'il y'a des valeurs propres strictement négatives [tex]\lambda = - r^2 [/tex]où [tex]r \in \mathbb{Z}^*[/tex]

Mon problème est que, si je pose \lambda = \alpha où \alpha \in \R^*, je trouve qu'il n'y a pas de valeurs propres strictement négatives. Tout ca est contradictoire et je n'arrive pas à comprendre ou à voir ce qui cloche. Merci de m'aider.

J'ai refais tous les calculs, et on trouve que det = 0 ssi [tex]r\in \mathbb{Z}^*[/tex], ce qui signifie que le problème aux limites admet des valeurs propres complexes[tex] \lambda = - r^2 = -\alpha^2[/tex] avec [tex]\alpha \in \mathbb{Z}^*[/tex].
Ce qui m’amène un autre gros problème, c'est qu'en cherchant des valeurs propres strictement négatives en posant [tex]\lambda = - \alpha^2[/tex] où[tex] \alpha \in \mathbb{R}^*,[/tex] je n'en trouve aucune. Où est le problème? Je vous prie.

Oui mais quand ils posent la question: est-ce qu'il y'a des valeurs propres négatives? positives? compxes? Cela signifie qu'il faut trouver des \lambda de la forme x+iy pour déclarer l'existence des complexes. Non? Pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

Alors voilà. On obtient le système:
[tex]$A(1-2e^{2 \pi s}) + B(1-2 e^{-2 \pi s})=0$[/tex] et [tex]$s[A(1-e^{2 \pi s}) + B(e^{-2 \pi s} -1)=0$[/tex]
où [tex]s= i r \in \mathbb{C}[/tex], en utilisant le fait que [tex]s \neq 0[/tex].
Le déterminant vaut [tex]det=-6+3 e^{-2 \pi s} + 3 e^{2 \pi s}[/tex].
[tex]det = 0[/tex] implique que (en multipliant par [tex]e^{2 \pi s}[/tex] et en divisant par[tex] 3[/tex], on obtient que[tex] -2 e^{2 \pi s} + 1 + e^{4 \pi s} = 0[/tex] ce qui implique que[tex] (1 - e^{2 \pi s})^2 = 0[/tex] qui implique que [tex]2 \pi s=0[/tex], ce qui impossible puisque [tex]s \neq 0[/tex].
Le problème n'admet donc pas de valeurs propres complexes.
[tex]e^{2 \pi s} = e^{2 \pi (\alpha + i \beta)} = e^{2 \pi \alpha} [\cos(2 \pi \beta) + i \sin (2 \pi \beta)][/tex]
Dans le cas où [tex]$\alpha=0$[/tex] et [tex]\beta\in \mathbb{Z}[/tex], alors [tex]e^{2 \pi s} = 1[/tex]. Donc, le déterminant n'est pas nul, quand
[tex]s=ir= i \beta[/tex] où [tex]\beta \in \mathbb{Z}[/tex] qui implique que [tex]r  \in \mathbb{Z}^*[/tex] ce n'est pas un nombre de la forme [tex]x+iy[/tex]. [tex]\mathbb{R}[/tex] est inclus dans [tex]\mathbb{C}[/tex], mais je ne comprend plus. On dit qu'il admet des valeurs propres complexes ou non? S'il vous plaît.
J'ai quelques questions, et je vous remercie d'avance de m'aider.

Merci beaucoup.

Oui, je sais résoudre cette équation.
On a l'équation algébrique [tex]r^2 + \lambda = 0[/tex], où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex]. On pose [tex]r = x+ i y[/tex], et [tex]\lambda = \alpha + i \beta[/tex].
[tex]r^2 = - \lambda[/tex] implique [tex](x+iy)^2 = - \alpha - i \beta = x^2+y^2 + 2 i x y[/tex]
On a deux équations: [tex]x^2 - y^2 = Re(-\lambda)[/tex], et [tex]x^2 + y^2=|-\lambda|[/tex]. Ainsi, on déduit que:
[tex]x^2=\dfrac{Re(-\lambda) + |-\lambda|}{2}[/tex] et[tex] y^2 = \dfrac{|-\lambda| - Re(-\lambda)}{2}[/tex]
ce qui implique que
[tex]x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }[/tex] ou [tex] x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }[/tex] et [tex]x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }[/tex] ou  [tex]x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }[/tex]
Du coup, je suis perdue parce que je ne sais pas comment conclure sur les deux solutions de l'équation algébrique, et par conséquent, sur les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation differentielle.

2- la solution générale de l'équation est [tex]y(x)=A e^{irx} + B e^{-irx}[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux constante réelles constantes.
Après ca,on cherche[tex] A[/tex] et [tex]B[/tex] pour que [tex]y[/tex] vérifie les conditions aux limites.
[tex]y(0)-2 y(2 \pi)=0[/tex] implique que[tex] A+B-2A e^{i2 \pi r} - 2 B e^{-2 \pi i r} = 0[/tex] qui signifie que
[tex]A(1 - 2 e^{2 \pi i r}) + B(1 - 2 e^{-2 \pi i r})=0[/tex]
et
[tex]y'(0)-y'(2 \pi)=0[/tex] implique que[tex] ir[A(1 - e^{2 i \pi r}) + B(1 -e^{-2 i \pi r})]=0[/tex]

Pour trouver A et B, il faut donc résoudre ce système à deux équations. Avez vous une méthode simple pour ca? .ce qui me bloque, c'est la présence de i et de $r$ qui est complexe. Si on travaillais avec des réels, et sans i, j'aurais calculé le détérminant pour voir: si le determinant est nul, alors la solution est trivial, sinon, il y'a une infinité de solution. Mais dans ce cas, qu'est ce qu'on peut faire pour résoudre ce système? Merci de m'aider.

Je ne comprend pas. On pose [tex]y(x)= e^{rx}[/tex], et on obtient l'équation algébrique [tex]r^2 + \lambda = 0[/tex] où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex]. Quelles sont les solutions de l'équation algébrique dans ce cas? S'il vous plaît.

Bonsoir,

  Tu peux prendre exactement la même méthode que celle que tu as déjà employée dans d'autres exercices, mais cette fois, tu cherches les solutions complexes. Tu ne t'embêtes donc pas avec des cosinus et des sinus dans ta solution, tu n'as que des exponentielles...

F.