Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

j'ai enfin mis la main sur une solution. Ce n'est pas un sujet aussi facile que prétendu, il est du niveau d'une olympiade de mathématiques.

SOLUTION (en chantier ...)

Parmi les [tex]\frac{n(n-1)}{2}[/tex] matches, notons [tex]u[/tex] le nombre de matches nuls et [tex]d[/tex] le score du dernier.

Lors d'un match nul, [tex]1 + 1 = 2[/tex] points sont distribués ; sinon [tex]3 + 0 = 3[/tex] points. D'où la relation :
[tex]2u + 3\left(\frac{n(n-1)}{2}-u\right) = d + ... + d+n-1[/tex] ou encore après simplification [tex]d = n - 1 - \frac{u}{n}[/tex].
Rappel : les scores rangés par ordre croissant sont en progression arithmétique de raison 1.

On en déduit que [tex]u = kn[/tex] et [tex]d = n - 1 - k[/tex]. [tex]k=0[/tex] (aucun match nul) rendrait impossible de générer un score non nul modulo 3. Montrons par récurrence que [tex]d_{max} = n-2[/tex] pour [tex]n \ge 4[/tex].

Exemple de tableau avec n = 4 :
x101
1x11
31x0
113x

Le passage de n = 3k+1 à n+1 se fait en ajoutant la ligne 1(033)...k fois...(033) (et la colonne "symétrique" avec 0<->3). En opérant un ensemble fini de permutations de blocs (2 lignes et les 2 colonnes de mêmes indices), on peut toujours faire en sorte de réordonner les totaux dans l'ordre croissant. Le passage de n = 3k+2 à n+1 se fait en ajoutant la ligne (033)...k fois...(033)01 Le passage de n = 3k+3 à n+1 se fait en ajoutant la ligne 1(033)...k fois...(033)03

[tex]Q_1[/tex] : si cela était possible, l'équipe qui réalise 7 matchs nuls a en particulier fait match nul avec la lanterne rouge dont le score est soit [tex]1+1+1+3=6[/tex] ou [tex]1+1+1+1+1+1=6[/tex] ; la lanterne rouge a donc réalisé au moins 3 matchs nuls. Cela fait en tout au moins [tex]3+7-1=9[/tex] matches nuls, ce qui est contradictoire d'après le raisonnement qui précède ([tex]u=n=8[/tex]).

[tex]Q_2[/tex] : voici un exemple de tableau de résultat dans l'ordre croissant des scores (les résultats de la lanterne rouge sont en première ligne ; ceux du premier en dernière ligne) :

x1110003
1x030003
13x13000
101x3310
3300x130
33301x10
333101x1
0033331x

Si n=8 donc 1 équipe affronte 7 autres
-le nombre de points maximal que peut obtenir une équipe est X=3x7=21
-le nombre de points minimal que peut obtenir une équipe est x=0x7=0
Pour que le dernier du classement puisse obtenir un score maximal (avec son statut de dernier), il faut:
-que son nombre de points soit strictement inférieure au nombre d'équipes adversaires donc x<7
Pour qu'une équipe puisse obtenir exclusivement des matchs nuls, il faut:
-que son nombre de points soit égal au nombre d'équipes adversaires donc x=7
Soit Q2 le classement final dans lequel le leader a perdu ses matchs contre les deux dernières équipes de ce classement:
   Position     Nombre de Points     Victoires     Nuls     Défaites     Journées
   Leader                  13                    4             1            2              7
   Dauphin                12                    4             0            3              7
   Troisième              11                    3             2            2              7
   Quatrième             10                    2             4            1              7
   Cinquième            09                    2             3            2              7
   Sixième                08                    2             2            3              7
   L'avant-dernière     06                    1             3            3              7
   Dernière               06                    1             3            3              7