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bonjour

s'il vous plait peut quelq'un m'aider a montrer que si
u(x, t) = ∫  ^∞_−∞Φ(x − y, t)g(y)dy avec Φ(x, t) =( 1/_(√(4πt))exp(−x²/4t) et que g est fonction non-négative uniformément bornée continue ayant une propriété g> 0 sur (a, b)
et g = 0 sinon. ici -∞ <a<b <∞.
alors ∫ ^∞ _∞-u (x, t) dx est fini pour t> 0.merci d'avance

tout ce que je sais est q'en utilisant Fubini on obtient
u(x, t) =∫ ∞−∞ (∫ ∞−∞Φ(x − y, t)g(y)dy )dx=1/(√(4πt)∫ ∞−∞ (∫ ∞−∞exp(−(x-y)2/4t)dx)g(y)dy

or en posant u=(x-y)/2√t donc dx=2√t du on obtient ∫ ∞−∞exp(−(x-y)2/4t)dx=2√t∫ ∞−∞exp(−u2)du=2√(tπ) par suite u(x, t) =1/(√(4πt)∫ ∞−∞ 2√(tπ)g(y)dy = ∫ ∞−∞ g(y)dy
mais dans la question il nous a dit de montre que ∫ ∞ -∞u (x, t) dx est fini  puis montrer que ∫ ∞ -∞u (x, t) dx =∫ ∞ -∞g (x) dx
comment faire alors.
aidez moi s'il vous plait.merci