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Bonjour,
Calculer[tex] x^n \delta^{(m)}[/tex] pour[tex] (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex]. On a:
[tex]\langle x^n \delta^{(m)},\varphi \rangle = \langle \delta^{(m)},x^n \varphi\rangle = (-1)^m \langle \delta,\dfrac{d^m}{d x^m}(x^n \varphi)\rangle[/tex].
Calculons [tex]\dfrac{d^m}{d x^m} (x^n \varphi)[/tex] en utilisant la formule
[tex]\dfrac{d^m}{dx^m}(x^n \varphi) = \sum_{k=0}^m C_k^m (x^n)^k \varphi^{(m-k)}[/tex].
Si on calcule par réccurence [tex](x^n)^k[/tex], on remarque que pour [tex]k \leq n[/tex];
[tex](x^n)^k=n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))[/tex]
et pour [tex]k>n[/tex]:[tex] (x^n)^k = 0[/tex].
Ainsi,
[tex]\langle x^n \delta^{(m)},\varphi \rangle = (-1)^m \langle \delta, \sum_{k=0}^n C^m_k (x^n)^k \varphi^{(m-k)} \rangle[/tex]
Comment finir le calcul svp