Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

(Oui c'est ça pour le voisinage, il faut comprendre que ton prof demande en plus quand on parle de limite en un point a d'enlever a).
Ce que j'esseyais de dire, c'est que si tu arrives à prouver que la limite existe avec la définition précédente, alors tu l'as explicité dans ta preuve.
Là je t'ai suggéré de montrer que [tex]l=0[/tex]. Autrement dit, si on te donne [tex]\epsilon > 0[/tex] quelconque, est-ce qu'il existe [tex]\alpha[/tex] tel que si x est dans [tex] ]0-\alpha , 0 +\alpha [ [/tex], avec x distinct de 0, alors [tex]\vert f(x) - 0 \vert < \epsilon[/tex] ? On veut voir si la définition précédente est vraie pour a=0 et l=0.

Ta démarche n'est pas bonne, tu dis "si je suppose que c'est vrai, alors c'est vrai". Tu supposes que tu vérifies la définition d'avoir une limite l en 0, et tu dis, donc je vérifie la formule d'avoir une limite l en 0, tu n'as rien fait.

1) Une rédaction possible :
Soit [tex]\epsilon > 0[/tex] fixé. Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] tel que [tex]0<\vert x - 0\vert <1 [/tex], (je choisis [tex]\alpha = 1[/tex], j'aurais pu prendre 50 ; 0,00001 ou 100 000 c'est pareil vu que f vaut tout le temps 0 sauf en 0).
On a alors [tex]\vert f(x) - 0 \vert = 0 < \epsilon[/tex].
[tex]\epsilon[/tex] étant quelconque, f admet donc 0 pour limite en 0.

2) Tu te doutes bien que cet exercice a été mis par ton prof pour mettre en valeur une subtilité entre la définition qu'il propose et une autre définition qui semble quasiment identique. La différence qui peut sembler anodine au premier abord c'est que dans le cas de 3.11 on demande à ce que "x ne soit jamais égal à a" tandis qu'a priori c'est possible dans le cas 3.1.
Pour cette question il faut se baser sur sa remarque (qu'il prouve) précédent l'exercice : "pour la définition 3.1, si la limite en un point a existe c'est forcément f(a)".
Ici notre fonction est discontinue en 0, elle vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs. Si f a une limite au sens de 3.1 en 0, par la remarque c'est forcément 1.
Or, en utilisant la négation de 3.1 tu peux montrer que f n'admet pas de limite égale à 1 en 0.
Donc f n'admet pas de limite en 0.

Sa remarque est importante, car elle nous dit qu'au sens de 3.1 le seul candidat possible de limite c'est f(a).
Ce qu'il faut retenir (en plus de l'aspect technique auquel il faut que tu t'habitues petit à petit) pour la suite c'est que pour la définition qu'il a choisi, c'est possible que la limite en a d'une fonction ne soit pas égal à f(a).

Note : je me suis aperçu que j'avais été négligeant sur l'énoncé et la preuve du petit exo que je t'ai proposé, je suis passé paufiner ça à l'instant, je t'invite à les relire c'est peut être plus clair maintenant, désolé. (J'ai précisé le domaine de définition de f pour l'énoncé et pour la preuve j'ai pris la définition de ton prof pour la limite).

Re,

Tu ne m'épuises pas du tout, au contraire, tu sembles faire preuve de bonne volonté et ça me motive plus qu'autre chose à te répondre. Par contre je crois que pour un second exercice, tu devrais ouvrir un autre topic.

Pour reprendre l'exercice précédent, plus la précision demandée est petite (on fait tendre epsilon vers 0) et plus il faudra se rapprocher de a (alpha doit tendre vers 0). C'est pour ça que faute d'expression explicite de f, difficile d'en dire beaucoup plus que "ça existe". J'ai imposé une précision de l/2 arbitrairement, mais pour déterminer explicitement le alpha associé... je ne peux rien dire. Dire que f admet une limite en a c'est imposer une certaine régularité autour de ce point (la continuité).

Pour ton exercice :
Oui, limite en 0 signifie bien a = 0.
f est une fonction qui vaut 0 quasiment tout le temps sauf en 0 où elle saute et vaut 1.
L'exercice précédent était d'écrire la négation de 3.11 :
[tex]\exists \epsilon > 0, \forall \alpha > 0, \exists x \in D \ \text{tq.} \ 0< \vert x - a \vert < \alpha \ \text{et} \ \vert f(x) - l \vert \geq \epsilon [/tex].
On peut interpréter ça avec des mots : "Pour notre candidat l de limite en a, l n'est pas la limite de f en a si :
il existe un écart epsilon tel que pour tout voisinage de a il existe un x dans ce voisinage tel que l'image f(x) et l sont écartés d'au moins epsilon".
L'inconvéniant avec cette définition c'est que tu supposes déjà connaître [tex]l[/tex] et ensuite tu testes si la définition marche.
Du coup je t'aide un petit peu :
1) Montre que f a une limite en 0 au sens de 3.11 égale à 0.
2) Montre que f n'est pas de limite 0 en 0 au sens de 3.1.

Re,
En effet, c'est complètement arbitraire, il faut juste prendre un epsilon strictement plus petit que [tex]l[/tex] et tout va bien. Imagine toi (fais un dessin) une fonction continue en un point a et autour de ce point, prendre [tex]\epsilon=l/2[/tex] c'est dire que sur [tex]]a - \alpha, a+ \alpha [ [/tex] les images sont contenues dans un tube de demi épaisseur [tex]l/2[/tex].
J'ai pris [tex]l/2[/tex] pourquoi pas l/5000, du moment que c'est strictement plus petit que l c'est ok. Mais si je prends l/5000 à la place de l/2, le alpha ne sera plus le même, alpha dépend du epsilon.

Je viens d'éditer mon post précédent où j'avais écris "[tex]]x - \alpha, x+ \alpha [ [/tex]" au lieu de "[tex]]a - \alpha, a+ \alpha [ [/tex]" !

Non, c'est si on prend [tex] \epsilon = l/2 [/tex] que f(x) est strictement positive sur [tex]]a - \alpha, a+ \alpha [ [/tex], on ne sait rien de alpha si ce n'est qu'il existe, j'avais fais une faute de frappe au post précédent pardon :).

EDIT : Tu as d'autres petits exercices dans les deux poly sur le même thème.

Oui c'est bien ça.

Gauche vers droite est juste par "inégalité triangulaire renversée", mais droite vers gauche est faux : [tex] \vert 1  \vert - \vert (-1) \vert < 1 [/tex] mais [tex] \vert 1-(-1) \vert =2 [/tex], et 2 > 1.

Mais même, ton raisonnement ne montre pas que f est strictement positive.

Appliquons la définition de la limite en a pour [tex]\epsilon = l/2[/tex] :
Il existe [tex]\alpha > 0[/tex] tel que si un réel x vérifie [tex]0< \vert x- a \vert < \alpha [/tex] alors [tex]\vert f(x) - l \vert < l/2 [/tex].
Donc pour tout [tex]x \in  ]a-\alpha , a+\alpha[ [/tex], avec x distinct de a, [tex]  -l/2<f(x) - l < l/2 [/tex].
Donc [tex] f(x) > l - l/2 > l/2 > 0 [/tex]

Remarque que [tex]\alpha [/tex] n'a jamais été explicitement déterminé, il existe, mais on ne peut pas vraiment en dire plus avec aussi peu d'hypothèse sur la fonction f.

PS : Sinon pour ton autre post sur la formule du binôme, c'est ok maintenant ?
Edit : j'ai légèrement changé la preuve pour être cohérent avec la définition de ton prof.

Salut,
[tex] \forall \epsilon > 0 [/tex] signifie "Pour toute précision (arbitrairement petite) [tex]\epsilon [/tex]".
Avec des mots, la définition de la limite que tu as écrite signifie :
"Pour tout précision (abitrairement petite) [tex]\epsilon[/tex], il existe un voisinage D de a (proche de a) tel que si x appartient D alors l'écart entre l'image f(x) et la limite l est inférieur à [tex]\epsilon[/tex] (comprendre, est arbitrairement petit)".

En gros, si x se rapproche de a, alors f(x) se rapproche de l. On a écrit ça de manière très formelle.

Ce formalisme peut te sembler inutilement compliquer cette intuition, mais les cas où l'intuition nous induit dans des raisonnements éronnés arrivent très vite et c'est très rassurant de pouvoir se reposer sur cette brique solide. Connaître cette définition très formelle et savoir la manipuler c'est pour moi l'une des choses les plus importantes de la première année.
Un exo de base :
Soit f une fonction de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] admettant une limite [tex]l>0[/tex] en un point a, montre qu'il existe un voisinage de a sur lequel f est strictement positive.