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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Choukos
- 14-12-2014 09:57:39
Bonjour,
Tu aurais au moins pu répondre quelque chose... Bref, finissons le boulot, il n'y a plus qu'à conclure.
Soit [tex]\sigma=(x_0=0,x_1, \ldots, x_n=1)[/tex] une subdivision de l'intervalle [0,1].
Par densité de [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], pour tout i entre 1 et n il existe un rationnel appartenant à l'ouvert [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex]. Donc l'infimum de f sur [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex] est atteint et est égal à 0.
Donc [tex]s_{[0,1]}(f,\sigma)=\sum_{i=1}^{n}{0\cdot (x_{i+1}-x_i)}=0[/tex].
Par densité de [tex]\mathbb{R}- \mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], il existe un irrationnel appartenant à l'ouvert [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex]. Donc le supremum de f sur [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex] est atteint et est égal à 1.
Donc [tex]S_{[0,1]}(f,\sigma)=\sum_{i=1}^{n}{1\cdot (x_{i+1}-x_i)}=1[/tex].
[tex]S_{[0,1]}(f,\sigma)-s_{[0,1]}(f,\sigma) =1[/tex] indépendamment de la subdivision choisie, f n'est donc pas (Riemann-)intégrable.
- Choukos
- 09-12-2014 23:42:23
Bonsoir,
Je repasse pour rajouter une indication, pour calculer la somme de Darboux inférieure, utilise la densité des rationnels dans les réels et pour calculer la somme de Darboux supérieure, utilise la densité des irrationnels dans les réels.
- Choukos
- 08-12-2014 22:48:14
Bonsoir,
Soit [tex]\sigma[/tex] une subdivision de l'intervalle [0,1], en notant respectivement [tex]s_{[0,1]}(f,\sigma ) [/tex] et [tex]S_{[0,1]}(f,\sigma ) [/tex] les sommes de Darboux supérieure et inférieure associées, à quoi sont-elles égales ?
- hectors
- 08-12-2014 19:30:58
Bonjour à tous, je bloque sur un exo dont je n'arrive pas à trouver la solution, quelqu'un pourrait-il m'aider ?
L'énoncé:
Montrer que la fonction : f [0; 1] -> R définie par
f(x) = 0 si x appartient à Q INTER [0; 1]
f(x) = 1 si x n'appartient Pas à Q INTER [0; 1]
n'est pas intégrable.
Merci d'avance.