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Re,

je continue sur ma lancée, totomn a montré une méthode alternative à la mienne, ce dont je le félicite.

Pour calculer [tex]E(X-1)[/tex], je propose la manière suivante.

Si on considère le polynôme [tex](1+X)^{n+1-k}[/tex], le coefficient de [tex]X^q[/tex] du polynôme dérivé s'écrit : [tex](n+1-k)\binom{n-k}{q}[/tex].

Par suite, le terme  [tex]\sum_{k=1}^{n-q}(n+1-k)\binom{n-k}{q}[/tex] est le coefficient de [tex]X^q[/tex] de la dérivée du polynôme [tex]\frac{(1+X)^{n+1}-(1+X)^{q+1}}{X}[/tex], soit

[tex]\frac{(n+1)(1+X)^{n}-(q+1)(1+X)^{q}}{X}-\frac{(1+X)^{n+1}-(1+X)^{q+1}}{X^2}[/tex].

Le coefficient de[tex] X^q[/tex] est égal à [tex](n+1)\binom{n}{q+1}-\binom{n+1}{q+2}=\sum_{k=1}^{n-q}(n-k+1)\binom{n-k}{q}[/tex]

On a alors [tex]\sum_{k=1}^{n-q}(k-1)\binom{n-k}{q}=\binom{n}{q+1}\left(\frac{n+1}{q+2}-1\right)[/tex].

En transposant [tex]q=b-1[/tex] et [tex]n = n_o+b[/tex], on obtient [tex]E(X-1)=\frac{n_o}{b+1}[/tex].

Salut,

notre ami totomn considère comme classique le résultat : [tex]\sum_{k=1}^{n-q}\binom{n-k}{q}=\binom{n}{q+1}[/tex].

C'est possible pour certains, probablement moins évident pour d'autres.

Alors voici une manière d'y arriver.

Chaque terme [tex] \binom{n-k}{q}[/tex] est le coefficient binomial de [tex]X^q[/tex] du polynôme [tex] (1+X)^{n-k}[/tex]

Donc la somme ci-dessus est le coefficient de [tex]X^q[/tex] de la somme [tex]\sum_{k=1}^{n-q} (1+X)^{n-k}= \frac{(1+X)^n-(1+X)^q}{X}[/tex]

A cause de la division par [tex]X[/tex], le coefficient de [tex]X^q[/tex] est égal à [tex]\binom{n}{q+1}[/tex], ce qu'on voulait montrer.

Re,

pour autant, inutile d'aller chercher à 14 heures ce qu'on avait à midi : Hypergéométrie de soeur Céline :-)))

Bonjour,

Merci à mimod d'avoir posé le problème et à freddy d'avoir secoué mes méninges à propos de la notation \binom.
J'ai proposé à Wolfram alpha : [tex]\sum_{k=1}^{n+1} k\ \binom{b+n-k }{b-1}[/tex]
Pour la réponse en moins de 5 secondes : [tex]\frac{(b+n) (b+n+1) \binom{b+n-1}{b-1}}{b (b+1)}[/tex]
Même démarche avec [tex]\sum_{k=1}^{n+1} \Big(\binom{b+n-k }{b-1}\ t^k\Big)[/tex] pour tester la valeur de la fonction génératrice
Réponse : [tex]\binom{b+n-1}{b-1}\times t \times _2F_1(1, -n ; -b-n+1 ; t)[/tex]
Le traitement peut continuer avec Wolfram alpha, mais je l'ai fait aussi jusqu'au bout "avec crayon et papier"

Référence pour commencer :
Comment déterminer les Coefficients de la série hypergéométrique :
http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/AeqB.pdf  Chap. 3.3 page 46 et 47
il faut ensuite bien sûr dériver puis évaluer …

Peut-être freddy suit une autre méthode ?
Dans mes souvenirs anciens une démarche consistait à finir par un polynôme de degré n identifié comme identiquement nul en lui appliquant n+1 valeurs judicieuses…

Salut,

vérifier que la somme des proba individuelles = 1 est un souci de cohérence indispensable avant de se lancer dans d'autres calculs comme celui de l'espérance d'une variable aéatoire.

Supposons que la formule utilisée de la proba individuelle soit fausse, tout le reste le sera aussi.

Reste donc maintenant à calculer l'espérance de X-1 ...(penser à la fonction génératrice !)

Bonjour,

Surtout,  pas d'exclamation.
Ah! quand on est pressé de bon matin...

Bonsoir;

Pour démontrer que la somme des probabilités est égale à 1, je propose d'utiliser un sens purement de probabilité. Du moment qu'il est certain qu'une boule blanche soit prélevée lors de (n+1) tirages alors nécessairement la somme de toutes les probabilités qui équivaut à la réunion de tous les événements possibles, est égale à 1.

Que pensez-vous ?

Bonjour,

D'après la présentation du post # 2 je trouve :
[tex]\Big(n+b-k \Big)P_{k+1}=\Big(n-(k-1)\Big)P_k[/tex] que j'ai vérifié sur quelques exemples,
Je ne vois pas le défaut, mais cela ne doit pas changer la méthode…?!