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Salut,

  On va le faire avec la caractérisation d'être fermé en utilisant des suites. Le problème est qu'ici on va devoir introduire des suites de suites...puis [tex]C[/tex] est un espace de suites. Pour éviter les confusions, notons [tex](x(p))[/tex] une suite d'éléments de [tex]C_0[/tex] (chaque
x(p) est lui-même une suite [tex](x_n(p))[/tex] qui converge vers [tex]x\in C[/tex]. On doit prouver que [tex]x\in C_0[/tex].

Soit [tex]\ell[/tex] la limite de la suite [tex]x=(x_n)[/tex] et soit [tex]\varepsilon>0[/tex]. Il existe un certain p tel que
[tex]\|x-x(p)\|\leq \varepsilon[/tex]. Ce p étant fixé, il existe un certain rang N tel que
[tex]n\geq N\implies |x_n(p)|\leq \varepsilon[/tex] (car la suite x(p) est dans [tex]C_0[/tex]).

Ainsi, on a, par l'inégalité triangulaire,
[tex]n\geq N\implies |x_n|\leq |x_n-x_n(p)|+|x_n(p)|\leq 2\varepsilon[/tex]

Faisant tendre n vers l'infini, on trouve alors
[tex] |\ell|\leq 2\varepsilon[/tex]

Puisque [tex]\varepsilon[/tex] est arbitrairement petit, c'est bien que [tex]\ell=0[/tex].

F.