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bridgslam · 18-04-2025 17:28:24

Bonjour,

mseeker a écrit :

- Dans $\mathbb{N}$ ordonné par la relation naturelle, qui est totale, 0 est le seul min et c'est l'inf de l'ensemble. N étant infini il n' y a ni de max ni de sup.
.

A mon sens cette remarque peut induire en erreur un néophyte.
L' autre implication est claire a contrario: tout ensemble totalement ordonné non vide sans maximum est infini.
Par ailleurs { 1 + 1/n , n naturel non nul} est infini, tot. ordonné, et un max (3/2) existe.
Pareil pour -$\mathbb{N}$...
Je pense qu'évoquer une cardinalité dans cette affaire peut plus déboussoler qu'autre chose.

Par ailleurs dire qu'un min est un inf, on le sait déjà, ça revient à un pléonasme.

Daimi ahmed · 17-04-2025 12:01:38

sup(A)=1;et puisque 1 appartient a A ;donc sup(A)=max(A)=1
d'autre part on a inf(A)=0 or 0 n'appartient pas a A alors inf(A) différente de min de A

MOHAMED_AIT_LH · 27-11-2011 03:55:06

Salut,

à houria:
Tu as posé une question et des membres ont pris la peine de te répondre(je les remercie à ta place) et ta réponse est de passer tout à coup à une autre question sans avoir fait la moindre suite aux réponses données.
le minimum est de remercier ces gens et de commenter ce qu'ils avaient dit en disant que tu avais compris ou que quelque chose manqueait encore ou ... . Non?

Pour ta première question il vaut mieux préciser le cadre : est ce que tu parles de [tex]\sup A, \max A[/tex] où [tex]A[/tex] est une partie de [tex]\mathbb R[/tex] muni de son ordre usuel ou tu parles du cas général ( c'est-à- dire [tex]A[/tex] une partie d'un ensemble ordonné).

Pour ta seconde question, n'attends pas qu'on te donne une clef magique pour démontrer q'une relation est d'équivalence et determiner les classes d'équivalence.
Lis ton cours pour savoir qu'est ce qu'une relation d'équivalence, ensuite donne les exemples que tu n'as pas su faire pour qu'on puisse t'aider.

houria · 25-11-2011 18:29:59

salut ;
j'avais le meme problème de l'inf et sup ,mais pour le moment mon probleme est çelui des relations d'équivalences .Je n'arrive pas a démentrer les relations ni a déterminer la classe d'équivalence d'un nombre .qui doi-je faire????

freddy · 30-10-2011 19:02:35

Salut,

elle a disparu, limarose ?

J'avais commencé à répondre à un second problème, et le post a disparu ...

C'est vrai qu'on lui avait donné une toute petite leçon de politesse, mais pas de quoi fouetter un chat, ce me semble.

mseeker · 27-10-2011 14:57:53

Bonjour,

En espérant compléter ta compréhension de ces notions.

La difficulté, je pense, c'est de comprendre que lorsque la relation est totale (tout élément est comparable à tout autre élémént), le sup et le inf existent toujours dans un ensemble ordonné fini. Dans ce cas le seul max est le sup, le seul min est le inf.
Alors que lorsque la relation est partielle (tout élément n'est pas forcément comparable à un autre), les notions de min et de max deviennent donc utiles puisque par exemple 2 éléments max peuvent ne pas être comparables et le sup n'existe pas dans ce cas pour l'ensemble.

Exemples :
- Dans N ordonné par la relation naturelle, qui est totale, 0 est le seul min et c'est l'inf de l'ensemble. N étant infini il n' y a ni de max ni de sup.
- Dans N (privé de 1) ordonné par la relation de divisibilité, les nombres premiers sont tous les éléments minimaux, il n'y a pas d'élément inf puisque un nombre premier, par définition, n'en divise pas un autre (ils ne sont pas comparables).

En voyant le graphe d'une relation, diagramme de Hasse, je trouve qu'on comprend bien vite la différence entre ces notations/notions.

Fred · 27-10-2011 14:20:25

Salut,

L'exemple que donne Freddy est bon. Dans ]0,1[, 0 est la borne inférieure (c'est un minorant de ]0,1[, tous les minorants de ]0,1[ sont plus petits que 0).
En revanche, ce n'est pas un minimum de ]0,1[ car il n'appartient pas à cet ensemble.

Tout partie non vide minorée de R admet une borne inférieure, mais pas toujours un minimum. Il faut pour cela que la borne inférieure soit dans l'ensemble.

Un exercice pour voir si tu as compris : soit [tex]A=\{1/n;\ n\geq 1\}[/tex]. Quelle est sa borne inférieure? sa borne supérieure? A-t-il un minimum? Un maximum?

Fred.

freddy · 27-10-2011 13:29:24

Re,

là où ça se complique est quand on énonce que l'infinum est la max des minorants ... ou que le supremum est le minimum des majorants ...

Avec un peu d'aspirine et de bons exemples, on doit arriver à s'en sortir.

freddy · 27-10-2011 13:26:52

Salut à toi (sans sms steuplait).

C'est une question pour Fred. En gros, tout revient à vérifier si l'inf et le sup sont dans l'ensemble concerné ou non.

Si le sup est dans ce dernier, alors c'est un max. Idem pour le min.

par exemple, et je parle sous le contrôle de Fred, soit [tex] I=[0,1][/tex] alors 0 est l'infinum de I et comme il appartient aussi à I, c'est aussi son minimum.

Maintenant, soit [tex]I' = ]0,1[[/tex]. 0 est toujours le inf de I', mais ce c'est pas son min.

Idem pour 1.

Fred, on you !

limarose · 27-10-2011 13:09:14

salut ç ts , je suis en premiere année Science mathématique et informatique appliqué , et j'ai un probleme avec le min le max linf et sup , quelle est la difference entre ces termes .. ???

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