Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

On continue....
Question 2.
a) [tex]U_1 = s(0)-s(1)\;\text{ et }U_2 = s(1) -s(2)[/tex]
    s(0) est connu, mais pas s(1), ni s(2) :
    [tex]s(0)= e^{9,25}-405[/tex] il faut bien utiliser cette valeur exacte et non 10000 valeur approchée.
    [tex]s(1) = e^{-0,13\times 1+9.25} -405= \cdots[/tex], simplifier l'exposant.
    [tex]s(2) = e^{-0,13\times 2+9.25} -405= \cdots[/tex], simplifier l'exposant.
    Calculer alors :
    [tex]U_1 =s(0)-s(1) = e^{9,25}-405 - ( e^{\cdots} -405) =  e^{9,25} - e^{\cdots}[/tex]
    Sachant que l'énoncé dit de vérifier que :
    [tex]U_1=e^{9,25}- e^{9,12}[/tex], pas très dur de remplacer les pointillés ci-dessus.
    Calcul de la valeur exacte de U2 :
    [tex]U_2=s(1)-s(2) = e^{9.12}-e^{8,99}[/tex]
b) Seul point un peu technique : il ne faut pas avoir peur du calcul littéral (pas bien méchant, quand même)...
    [tex]U_n=s(n-1)-s(n)=e^{-0,13(n-1)+9,25}-405-(e^{-0,13n+9,25}-405) = e^{-0,13(n-1)+9,25}- e^{-0,13n+9,25}[/tex]
    Développer et réduire (attention aux signes) l'exposant de la 1ere exponentielle.
    On sait  que [tex]e^{a+b}=e^a\times e^b[/tex]
    Décomposer chacun des deux termes de la différence en un produit de deux exponentielles.
    Tu obtiens un facteur commun : factoriser !
    Et tu tombes alors sur l'énoncé [tex]U_n=e^{-0,13n}\times (e^{9,38}-e^{9,25})[/tex]

    On a donc maintenant le droit d'écrire que [tex]U_{n-1}=e^{-0,13(n-1)}\times (e^{9,38}-e^{9,25})[/tex]
    Pour montrer que U_n est une suite géométrique, par définition, il faut montrer que U_n = q.U_{n-1}...
    On doit donc faire apparaître U_{n-1}dans U_n.
    Pas difficile si on voit que la partie [tex]e^{9,38}-e^{9,25}[/tex] est commune à U_n et U_{n-1}.
    Il faut donc voir que [tex]e^{-0,13n}=e^{-0,13} \times e^{-0,13(n-1)}[/tex]

   J'arrête là.
   Si j'en dis plus, je suis obligé de donner la résolution de l'inéquation Un<70 et je veux te guider..

@+

Bonjour,

Voilà, ça vient...
Une petite rectification quand même : a= 24,97009948 n'est qu'une valeur approchée à  [tex]10^{-8}[/tex] près.
La valeur exacte s'écrit [tex]t=\frac{9,25-\ln(405)}{0,13}[/tex]

La dérivée de [tex]e^{kx}[/tex], où k est nombre réel, est simplissime : [tex](e^{kx})'=k.e^{kx}[/tex].
Tu verras que ta dérivée est toujours -strictement- négative.

Pour trouver graphiquement la durée t correspondant à une diminution de moitié du stock, tu te places à 5000 sur l'axe des y, tu traces en pointillés un trait horizontal (tu ajoutes quelque part une pointe de flèche afin d'indiquer le sens de lecture) jusqu'à rencontrer la courbe, de là tu redescends en pointillés (avec aussi une point de flèche quelque part) jusqu'à rencontrer l'axe des x.
Si ton graphique est correctement tracé (je le construirais avec un minimum de 20 points -abscisses entre 0 et 25-)
tu vas tomber un millipoil près sur 5 (le calcul me donne 5,037...)
Pour la suite, tu vas avoir besoin d'être guidé, il faudra être un peu plus présent, sinon on va y passer une semaine à 1 post par jour ;-)

@+

Re,

Oui, s(0) = 10000 (9999.5657165607226...)
Oui, le e "disparaît".
Le log népérien et l'exponentielle sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre :
[tex]ln(e^x)=x\text{ et } e^{\ln(x)}=x[/tex].  C''est du cours.
C'est pour ça que je t'ai écrit :

Une équation du type  [tex]e^{ax+b}=k[/tex] se résout par passage au log : [tex]ax+b=\ln(k)[/tex]
Donc ici, c'est : [tex]-0,13t+9.25=\ln(405)[/tex]

Lirais-tu les réponses en diagonale ?
L'étape intermédiaire s'écrit : [tex]\ln(e^{-0,13t+9,25})=\ln(405)[/tex]
(En plus, ici, tu vois, on a même la prétention de faire apprendre leur cours malgré eux aux naufragés des Maths...)

Je t'ai aussi dit de considérer ln(405) comme un nombre à part entière, comme si c'était 3 ou 2,5 ou 13,5345...
ok ?
Donc, ne te focalise pas le ln(405) inutile de le calculer tout de suite.
Et si tu devais résoudre -2t+7 = 5, comment t'y prendrais-tu ?
Alors fais la même chose avec -0,13 à la place de -2 et ln(405) à la place de 5, ne fais aucun calcul intermédiaire, mais commence par écrire :
[tex]t=\frac{\cdots - \cdots}{\cdots}[/tex]
Alors seulement, prends ta calculette et fais les calculs...

@+

Bonjour,

Bon,

J'attends de toi (et freddy aussi) que tu calcules s(0).
Dans la formule [tex]s(t)=e^{-0,13t+9,25}-405[/tex] , tu remplaces t par 0, tu l'as dit toi-même, alors empoigne ta calculette, fais-le calcul et donne la réponse.
Commence par là !
Pour la suite du 1.a) je t'ai donné la méthode :
Une équation du type  [tex]e^{ax+b}=k[/tex] se résout par passage au log : [tex]ax+b=\ln(k)[/tex]

Donc ici, c'est : [tex]-0,13t+9,25=\ln(405)[/tex]
C'est une équation du 1er degré à une inconnue en t : si on remplaçait ln(405) par une valeur quelconque, on pourrait donner cette équation à résoudre en 4e.
Et toi, tu es dans le Supérieur ! Encore que ce problème relève du niveau Term S ou ES.

Alors, au taf et reviens avec ton résultat.

@+

Salut,

je plussoie l'ami yoshi.

J'ai bien reçu ton courriel me demandant de t'aider (pour que tu puisses avoir une meilleure note en maths ...) mais hormis faire ton sujet à ta place, je ne vois pas comment t'aider.

De plus, ce n'est pas un très bon plan, car ton prof. va s'apercevoir que ce n'est pas toi qui as fait le boulot (car manifestement tu n'as pas encore le niveau).

Réaction classique :  il t'envoie au tableau sans ta copie et te demande de bien vouloir lui expliquer ta solution. Succès garanti !!!

Donc, y'a plus qu'à ... te mettre à travailler.

Aide toi, et Bibmaths t'aidera !

Bonjour, il y a t-il quelqu'un qui arrive a faire cette exo svp j'y comprends rien j'ai besoin d'aide :
Dans une entreprise industrielle on traite des déchets, avant leur rejet, par addition continue d'un liquide approprié, pendant un certain nombre de jours. A chaque cycle de traitement, une même quantité de déchets est prise en charge.
Pour éviter le surstockage, avant chaque cycle, le stock de liquide de traitement, ("stock initial") est toujours le même, légèrement supérieur à la quantité nécessaire.
Une étude a permis de constater que, pendant la durée du cycle, le stock s(t) de liquide de traitement (en litres), s'exprime, en fonction du temps t (en jours), par : [tex]s(t)= e^{-0.13 t + 9.25} - 405[/tex]
On note (C) la courbe représentative de la fonction s dans un repère orthogonal
1° a)  Calculer l'approximation entière à un litre près du stock initial s(0).
          Résoudre l'équation s(t) = 0.
En déduire le temps a au bout duquel le stock sera théoriquement nul ("rupture de stock").
(On donnera la valeur exacte de a ; on constatera qu'elle est légèrement inférieure à 25).
b)  Étudier le sens de variation de la fonction s, sur l'intervalle [0 ; a ].
c)  Tracer la courbe (C), dans le repère  , pour les abscisses comprises entre 0 et a.
(Utiliser une feuille de papier millimétrique ; unités graphiques : 1 cm pour deux jours sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 1 000 litres sur l'axe des ordonnées).
d)  Par lecture sur le graphique, déterminer le jour au début duquel le stock n'atteint plus que la moitié du stock initial. (Faire apparaître les tracés permettant cette lecture).

2° On examine l'évolution de la consommation journalière de liquide de traitement durant le cycle. Pour cela, on considère la suite (un), définie pour tout nombre entier naturel non nul n par :
un = s(n - 1) - s(n).
(Les nombres u1, u2 et plus généralement un représentent respectivement les consommations de liquide de traitement, en litres, pendant le 1er, le 2ième et le nième jour du cycle).
a)  Vérifier que [tex]U_1 = s(0) - s(1) = e^{9,25}- e^{9,12}[/tex].
Calculer la valeur exacte de u2.
b)  Montrer que un peut s'écrire [tex]U_n = (e^{9,38} - e^{9,25})\times e^{-0,13n}[/tex].
c)  Prouver que la suite (un) est une suite géométrique.
Donner la valeur exacte et l'approximation décimale arrondie à {tex]10^{-2}[/tex] près de sa raison q.
Utiliser ces résultats, pour comparer les consommations de deux jours consécutifs du cycle.
d)  Dans la pratique, le cycle de traitement est arrêté à la fin du jour au cours duquel la consommation journalière de liquide de traitement devient inférieure à 70 litres.
Déterminer ce jour, en utilisant l'expression de un obtenue à la question b)
.