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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Picatshou
- 23-01-2010 16:57:31
salut mr freddy merci beaucoup pour la réponse mais , je n'ai pas compris cette méthode?
- freddy
- 21-01-2010 11:33:01
bonsoir Freddy, si ne vous dérange pas je veux savoir la méthode de résolution avec le DL. j'ai essayé mais je n'ai rien trouvé. Merci pour la rectification et la réponse!
Salut,
c'est très proche de ce que j'ai fait.
Tu considères la fonction (1/x)(arctan(1/x), dérivable au point x = 1.
Au premier ordre et au voisinage de 1, tu as
[tex](\frac{1}{x})\arctan(\frac{1}{x}) = \arctan(1) + (\frac{1}{x}-1)[(-\frac{1}{x^2})\arctan(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})(-\frac{1}{x^2})/(1+\frac{1}{x}))]_{x=1} + (1/x-1)\epsilon(1/x)[/tex]
[tex]= \frac{\pi}{4} + (\frac{1}{x}-1)(-\frac{\pi}{4} -\frac{1}{2}) + (1/x-1)\epsilon(1/x)[/tex]
Quand tu remplaces ceci dans l'expression du post #6, tu obtiens la simplification dont tu as besoin.
C'est OK ?
PS : si Fred veut corriger qques erreurs de notations, je n'y vois aucun inconvénient, bien au contraire.
- freddy
- 20-01-2010 23:44:41
Re,
on a :
[tex]F(t;x) = \int\frac{dt}{(1+t^2)(t^2+x^2)}=- \frac{x\arctan(t)-\arctan(t/x)}{x-x^3}[/tex]
soit :
[tex]F(t;x) = \frac{\arctan(t)-(1/x)\arctan(t/x)}{x^2-1}[/tex]
Donc, puisque x > 0, qd t tend vers +infini, F(t,x) tend vers [tex]G(x)=\frac{\pi}{2}\times \frac{1-1/x}{x^2-1}=\frac{\pi}{2x}\times \frac{1}{x+1}[/tex] et F(0,t) = 0
Conclusion : [tex]\lim_{x \to 1} G(x) = \frac{\pi}{4}[/tex]
QED
- Picatshou
- 20-01-2010 23:03:04
jesuis totalement bloqué dans le dernier intégrale !
aidez moi s'il vous plait!!!
- Picatshou
- 20-01-2010 21:50:54
salut tout le monde , je trouve encore la même difficulté dans le calcul de :
lim [tex]\int^{\ + infinity}_{0}[1/(1+t^2)(t^2+x^2)]dt[/tex]
x->1
en effet par le calcul direct j'ai trouvé pi/4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!???????????????????????????????????????????
Est ce que quelqu'un puisse m'aider ?
Merci beaucoup d'avance!
- Picatshou
- 20-01-2010 20:57:45
bonsoir mr Freddy, si ne vous dérange pas je veux savoir la méthode de résolution avec le DL??????? j'ai essayé mais je n'ai rien trouvé ??????!!!!!!!merci pour la rectification et la réponse!
- freddy
- 20-01-2010 15:56:11
Salut,
tu t'es un peu trompé sur le calcul, tu devrais avoir le résultat suivant, fonction de x :
[tex]\frac{\pi/4 - (1/x)\times \arctan(1/x)}{x^2-1}[/tex]
En faisant un changement simple de variable (genre u=1/x) et en bidouillant un peu le dénominateur, tu vas te ramener au calcul de la dérivée de la fonction[tex]u\arctan u[/tex] en 1, et retomber sur tes pattes.
Sinon, fais comme te dit Fred, un petit DL(1) ... et hop, le tour est joué.
C'est bon ?
PS : je développe pour mon bonheur :
[tex]\frac{\pi/4 - u\times \arctan(u)}{(1/u)^2-1}= \frac{u^2}{u+1}\times \frac{u\times \arctan(u) - \pi/4}{u-1}[/tex]
Donc quand u tend vers 1, on a bien [tex]\frac{1}{2}\times (u\times \arctan(u) )'[/tex] au point u = 1, soit
[tex]\frac{1}{2}\times (\arctan(1) + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}[/tex]
- Picatshou
- 20-01-2010 13:35:30
salut mr Fred effectivement je ne trouve pas une idée pour faire le DL de 1/(x^2-1) au voisinage de 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!???????????????????????????????
- Fred
- 20-01-2010 13:16:24
Fais un développement limité pour lever l'indéterminée!
F.
- Picatshou
- 20-01-2010 11:33:00
salut, merci pour la réponse mais après le passage à la primitive ontrouve 1/(x^2 -1)[pi/4 -arctg(1/x)] et si on passe a la limite lorsque x tend vers 1 on trouve une forme indéterminée c'est mon problème dès le début ?!
merci pour ce qui puisse m'aider!
- JJ
- 20-01-2010 08:58:12
1/((1+t²)(t²+x²)) = [(1/(1+t²)) - (1/(t²+x²))]/(x²-1)
Chacune s'intègre avec un arctg
- Picatshou
- 20-01-2010 07:06:00
Bonjour tout le monde , dans un exercice il est demandé de calculer l'intégrale suivante par deux méthodes :
[tex]\int^{1}_{0}(1/(1+t^2)^2)dt[/tex]
la première par calcul direct ,alors ,j'ai écrit :1/(1+t^2)=1/2[(1-t^2)/(1+t^2)^2 + 1/(1+t^2)]
et puis j'ai calculé l'intégrale et j'ai trouvé 1/4+([tex]\pi [/tex]/8)
et ce qui concerne la deuxième méthode il faut calculer lim [tex]\int^{1}_{0}[1/(1+t^2)(t^2+x^2)]dt[/tex]
x->1
je n'ai pas pu la calculer !!!!!!!!!!!
est ce quelqu'un puisse m'aider ?
Merci d'avance!