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Bonsoir,

@Michel
Oui, mais j'ai dit au départ que c'était assez elliptique, ellipticité qui m'a semblé nécessaire sauf à donner trop d'indice (ou directement la réponse).

L'image (ou l'analogie si tu préfères ) d'une propriété posée sur une catégorie donnée ( les voitures - applications ) pour définir les sportives, puis la même ou presque posée sur une sur-catégorie  (les véhicules à roues - graphes ) pour définir les voitures visait à orienter les réponses dans le bon sens.

C'est sûr que vues tes compétences, si tu n'as pas compris la question, c'est qu'elle n'était pas claire pour toi.
Il fallait juste penser à se placer dans la catégorie des graphes, pas des fonctions, donc élargir un peu  le cadre.

Un graphe R de ExF est une application <=> son graphe réciproque est surjectif et injectif.

En résumé, la difficulté était de bien situer la question ( et pour moi de la poser sans trop en dire).
Désolé en tous cas si je t'ai fait perdre ton temps.

PS: désormais je fais un gros crochet lorsque je croise une vache normande !

Bonjour,

@Michel : certes, mais ce sont les notions d'injectivité/surjectivité caractérisant les applications, si elles vérifient ces propriétés. On est donc déjà sur la notion d'application, au préalable, au stade de tes propositions.

L'idée de ma question était de voir que sur des objets plus généraux que les applications, l'existence de ces propriétés ( en un sens si naturelles qu'on peut leur donner le même nom que pour les applications ), simultanément, caractérise les applications au niveau de leurs graphes.
Tout x de E possède (au moins) un antécédent par $R^{-1}$ : tout x de E possède (au moins) une image par R.
Tout x de E ne possède pas plus d'un antécédent par $R^{-1}$ : tout x de E possède au plus une image par R.

On n'est pas obligé de voir cela comme le chat qui se mord la queue, en tout cas pas pour moi.
Il s'agit plutôt d'une symétrie de langage dont l'ironie réside dans le partage avec des définitions ultérieures ( sur les applications  ).

L'intervention du graphe réciproque dans la définition d'application a sans doute sa part dans le fonctionnement harmonieux des images réciproques en regard des images directes. pour les applications non bijectives en tous cas.

Bonjour,
Une application $f:A\to B$ est injective (resp. surjective) si et seulement s'il existe une application $g : B\to A$ telle que $g\circ f=\mathrm{Id}_A$ (resp. $f\circ g= \mathrm{Id}_B$).
Une application $f:A\to B$ est surjective (resp. injective) si et seulement quels que soient $g,h : B\to C$ (resp. $g,h : C\to A$), $g\circ f=h\circ f \implies g=h$ (resp. $f\circ g=f\circ h \implies g=h$).

Bonjour Bridgslam,

est ce que ça ne serait pas lié aux cardinaux des ensembles de départ et d'arrivée de l'application ?