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Bonsoir,
Si tu as deux espaces vectoriels de dimension finie (un au départ, l'autre à l'arrivée), il te faut deux bases (une pour chaque espace vectoriel) pour définit la matrice d'une application linéaire.
Ceci dit, si $A$ est la matrice de $f$ dans ces deux bases, on a bien que le rang de $f$ est le rang de $A$.
$\ker(f)$ est un sous espace de $E$ et $\ker(A)$ un sous-espace de $k^n$ où $n=\dim(E)$ et $k$ est le corps des scalaires. Ils ne sont égaux que modulo l'isomorphisme de $E$ sur $k^n$ donné par la base de $E$ (isomorphisme qui associe à un vecteur de $E$ le $n$-uplet de ses coordonnées dans la base choisie pour $E$).
Le spectre de $f$ n'a pas de sens en général, il n'en a que si $f$ est un endomorphisme de $E$, et alors on a bien l'égalité  des spectres de $f$ et de la matrice de $f$ dans n'importe quelle base de $E$.