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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zebulor
- 15-01-2025 07:52:36
Re,
non c était moi le gros minet et il n y avait aucun éléphant. :-=
- cailloux
- 15-01-2025 01:02:15
Allons bon : j'ai cru voir passer un message subliminal quant à une éventuelle suite.
Il est probable que ma vilaine fièvre grippale provoque chez moi l'apparition d'éléphants roses ...
- cailloux
- 13-01-2025 17:29:20
Bonjour à tous,
Je pense qu'il est temps de donner une heureuse conclusion à ce fil. J'ai écrit plus haut :
La solution que j'ai sous le coude (un peu calculatoire) ...
Si on lit bien entre les lignes, il est évident que la solution en question (qu'on m'a communiquée il n'y a pas loin de 5 ans) n'est pas de mon cru.
Je me ferai un plaisir de la poster si vous répondez à la question (très facile à la lecture de ce fil) :
De qui est-elle ?
- Zebulor
- 11-01-2025 18:12:30
Re,
tu as tout résumé et en effet c'est cuit pour cette intégrande.
P.S. Se faire vacciner n'est pas une garantie : je suis moi même vacciné grippe+covid ...
Alors je touche du bois...
- cailloux
- 11-01-2025 17:39:58
De retour aussi.
Fondamentalement, ta démonstration de $I_n-\frac{1}{2n}\leq 0$ avec changement de variable est la même que celle de perroquet :
Le "miracle" est venu aussi pour toi avec le carré dans l'intégrande : $(x-1)^2$ (perroquet a un $(\tan\,t-1)^2$) si bien que l'intégrande garde un signe constant sur l'intervalle d'intégration.
Ce que je voulais dire plus haut, c'est que ce miracle n'interviendra pas deux fois.
Autrement dit pour la démonstration de $I_n-\dfrac{1}{2n+1}\geq 0$ avec une intégrale, l'intégrande changera de signe sur l'intervalle d'intégration : c'est cuit ...
P.S. Se faire vacciner n'est pas une garantie : je suis moi même vacciné grippe+covid ...
- Zebulor
- 11-01-2025 15:31:02
De retour,
A voir, en attendant :
$I_n-\dfrac {1}{2n+1}=\int_0^{1}\dfrac {x^n}{1+x^2}\,\text{d}x-\int_0^{1} x^{2n}\,\text{d}x=\int_0^{1}\dfrac {x^{n}-x^{2n}(1+x^2)}{1+x^2}\,\text{d}x$
Et on dirait bien que $\dfrac{1}{2n+1}$ est un équivalent de $I_n$ en l'infini.. et bon rétablissement cailloux !! -:)
J'ai bien fait de me faire vacciner contre la grippe
- cailloux
- 11-01-2025 13:49:43
J'ai des doutes sur la faisabilité de la chose mais qui sait ?
- Zebulor
- 11-01-2025 13:45:24
De retour,
@cailloux : non, tu as bien fait de préciser les calculs.. Reste à comparer $I_n$ et $\dfrac {1}{2n+1}$ par la même méthode que le post 11..
- cailloux
- 11-01-2025 13:38:21
Merci Zebulor pour tes retours :
Je n'étais pas sûr de mes élucubrations ...
- Zebulor
- 11-01-2025 13:29:32
Re,
petite variante après changement de variable : partant de $I_n=\int_0^{1}\dfrac {x^n}{1+x^2}\,\text{d}x$ on a :
$I_n-\dfrac {1}{2n}=\int_0^{1}\dfrac {x^n}{1+x^2}\,\text{d}x-\int_0^{1}\dfrac {x^{n-1}}{2}\,\text{d}x=-\int_0^{1}\dfrac {x^{n-1}(x-1)^2}{2(1+x^2)}\,\text{d}x$, ce qui permet de comparer $I_n$ et $\dfrac {1}{2n}$
- Zebulor
- 11-01-2025 06:05:55
Re,
Sans compter les erreurs de calcul possibles, je suis peut-être à côté de la plaque ...
@cailloux : j'ai vérifié : tu as raison... Erreur de calcul avec un 3 au lieu d un 5
- cailloux
- 11-01-2025 00:10:35
Bonsoir Zebulor,
J'ai pu faire des erreurs de calcul mais je crois qu'il y a des petits problèmes.
L'hypothèse de récurrence : $\dfrac{1}{2n+1}\leq I_n\leq \dfrac{1}{2n}$ à partir de laquelle on obtient :
$$\dfrac{n-1}{2n(n+1)}\leq I_{n+2}\leq \dfrac{n}{(n+1)(2n+1)}$$
Mais pour $1\leq n\leq 4$, on n'a pas $\dfrac{1}{2n+5}\leq \dfrac{n-1}{2n(n+1)}$
Pire : pour $n>1$, on n'a pas $\dfrac{n}{(n+1)(2n+1)}\leq \dfrac{1}{2(n+2)}$
Sans compter les erreurs de calcul possibles, je suis peut-être à côté de la plaque ...
- Zebulor
- 10-01-2025 23:24:36
Re,
$$\dfrac{1}{2n+1}\leq I_n\leq \dfrac{1}{2n}$$
Ces deux inégalités sont vraies pour $n=1$ et $n=2$. Ensuite en utilisant les résultats du 2, je ne crois pas que l'hérédité soit délicate, mais c'est beaucoup moins élégant que la solution de perroquet.
- cailloux
- 10-01-2025 23:09:59
Bonsoir à tous et merci.
D'abord à Zebulor pour son idée de récurrence (peut-être à deux pas) où l'hérédité risque d'être délicate ...
Ensuite à perroquet : une solution élégante qui est tout à fait dans l'esprit de ce que j'espérais.
Je me permets de développer (un chouïa) sa deuxième partie :
$$I_n\geq \dfrac{n+3}{2(n+1)(n+2)}\geq \dfrac{1}{2n+1}\text{ pour tout }n\geq 1$$
C'est non seulement très joli mais accessible aux terminales d'aujourd'hui !
Pour sa première partie, il y a un côté miraculeux avec l'apparition d'un carré dans l'intégrande.
- perroquet
- 10-01-2025 20:48:07
Bonjour.
$\dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-1}(t) (1+\tan^2 t) dt $
Cette égalité me permet de montrer que $I_n-\dfrac{1}{2n} \leqslant 0$.
Ensuite, l'égalité $I_n+I_{n+2}= \dfrac{1}{n+1}$ et l'inégalité $I_{n+2} \leqslant \dfrac{1}{2(n+2)}$ me permettent d'obtenir l'inégalité $I_n \geqslant \dfrac{1}{2n+1}$.