Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Pas de soucis, la première methode à l'avantage d'être courte et efficace mais est plus "astucieuse". Je préfère la seconde qui pour moi est plus "methodique' (pour moi mon premier réflexe a été de dire que si $f$ est inversible alors c'est bon, du coup essayer de se ramener à ce cas inversible).
Bonne journée

Bonjour,
Prenons $A$ la matrice de $f$ dans une base orthonormale de $E$. Alors tu veux montrer $AA^*=A^2 \Rightarrow A=A^*$
Je rappelle que la norme de Frobenius sur les matrices est issue du produit scalaire $\left<A,B \right>=Tr(AB^*)$

On a $\Vert A - A^*\Vert_F^2 = Tr(AA^*) + Tr(A^*A)-2Tr(A^2) =0$ sous ton hypothèse. Du coup, $A=A^*$.

Sinon autre solution :
L'énoncé est evident lorsque $f$ est inversible.
Sinon, la relation $ff^*=f^2$ permet de montrer que $Ker(f) = Ker(f^*)$ (par exemple, si $x\in Ker(f)$, alors calculer la norme de $f^*(x)$...)
Notons $G$ le supplementaire orthogonal à $Ker(f)$ dans $E$ si on montre que $G$ est stable par $f$ alors $f_G$ sera un endo inversible qui verifiera la meme relation que $f$ et on aura la conclusion. Mais si $x\in G$ et $h\in Ker(f)=Ker(f^*)$ alors $\left<f(x),h\right> =\left<x,f^*(h)\right> =0$ donc c'est bon !

Bonne journée