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Borassus · 13-07-2024 19:17:28

CO2 a écrit :

$$\vec{AO}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}=\frac{2}{3}\vec{AM}$$

Bonjour CO2,

A une exception près, la division d'un vecteur par un nombre n'est pas admise. Seule la multiplication par un nombre existe, le nombre étant obligatoirement placé en premier.

L'écriture juste est donc $$\frac 1 3 (\vec{AB}+\vec{AC})$$

L'exception concerne la définition du vecteur unitaire associé à un vecteur : $ \dfrac {\text{vecteur}} {\text{norme du vecteur}}$ : $ \dfrac {\vec{u}} {\lVert \vec{u} \rVert} $

yoshi · 13-07-2024 11:10:18

Bien le bonjour,

dans le cas où ce serait simple, je ne vois pas comment démarrer

C'est justement parce que c'est simple (relativement simple ?) que tu ne vois pas...

Souvent un bon réflexe : revenir à la définition...
Donc, qu'est-ce que le cercle circonscrit à un triangle ?

C'est le cercle qui passe par les 3 sommets du triangle et qui a pour centre le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle.
Prenons le côté [BC].
Sa médiatrice passe par son milieu (que j'ai appelé M) et également (énoncé !) par O.
C'est donc la droite (OM)...
Mais, tu sais aussi (pour l'avoir montré) que les points A, O et M sont alignés. Donc la médiatrice (OM) de [BC] peut aussi être nommée (AM).
On montrerait de même que les médiatrices de [AC] et [AB] sont (avec mes notations) sont respectivement (BN) et (CP)...

Pourquoi ABC est-il équilatéral ? (propriété de la médiatrice)
(AM) est la médiatrice de [BC], donc A est équidistant de B et de C : AB = AC...
Il suffit ensuite de réutiliser cette propriété avec une des 2 autres médiatrices.
Et tu vas finalement arriver à AB = AC = BC...

-----------------------------------------------------------------

N-B:
Au cas où, je n'aie pas été suffisamment clair.

$\vec{AO}=\dfrac 2 3\vec{AM}$

A quoi sert cette égalité ?
Je sais que (AO), (BO), (CO) sont concourantes en O, ainsi que (OM), (ON), (OP) c'est une évidence (on enfonce une porte ouverte !...)
Mais rien ne me dit que O appartient à la droite (AM) qui, elle, est une médiane.
(Que (AM) soit une médiane est une autre "évidence" : par définition, dans un triangle, la médiane joint un sommet au milieu du côté opposé.)
Donc oui, les 3 médianes sont concourantes et alors ? Qu'est ce qui prouve que leur point d'intersection est O ?
D'où l'utilisation de l'égalité vectorielle du type :
$\vec{AO}=k\,\vec{AM}$ avec $k \in\mathbb R.
qui se trouve être (vu en 2nde) la condition de colinéarité de 2 vecteurs....

C'est cette égalité qui me me permet de dire que $O \in (AM)$
Et ensuite de dire que $O \in (BP)$ et $O \in (CN)$.

Ainsi, je sais que non seulement les 3 médianes (AM), (BN) et (CP) sont concourantes, mais que leur point de concours est O.
Chaque médiatrice passant par O (c'est dû à l'énoncé) et le milieu d'un côté, alors (OM), (ON), (OP) sont les médiatrices du triangle...
Et je peux ajouter alors qu'on peut aussi les appeler (AM), (BN) et (CP) : chaque médiatrice est donc aussi une médiane.

@+

CO2 · 12-07-2024 22:21:21

Bonsoir.

Merci, je n'en attendais pas tant.

Je suis donc arrivé à, comme tu le dis,
$$\vec{AO}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}=\frac{2}{3}\vec{AM}$$
et pareil pour $\vec{OB}$ et $\vec{OC}$ avec
$$\vec{BO}=\frac{2}{3}\vec{BN}$$
et
$$\vec{CO}=\frac{2}{3}\vec{CP}$$
Si je comprends bien, comme les distances sont toutes égales (entre le cercle et son centre $O$) alors toutes les normes des vecteurs sont égales donc les droites correspondantes (les médianes donc ?) sont concourantes.

Tu me dis que je suis censé prouver sans trop de difficulté que les médianes sont aussi les médiatrices, mais je t'avoue que je sèche sur comment faire ça (en tout cas, dans le cas où ce serait simple, je ne vois pas comment démarrer).

Merci aussi pour le petit exercice à la fin, que je tâcherai de faire dès que je le pourrais la semaine prochaine !

yoshi · 12-07-2024 18:46:47

{Bonsoir,

Curieux, que l'égalité vectorielle $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$ n'ait pas fait tilt dans ta tête...

Ah... mais il me semble avoir vu passer que les barycentres ne sont plus du programme de 1ere... C'est bien ça ?
Il faut te méfier pour certains exercices qui font appel à des notions maintenant plus étudiées

Cette égalité vectorielle est celle associée au Centre de gravité d'un triangle...
O est le centre de gravité du triangle ABC. donc l'intersection des médianes.
Or, l'énoncé dit qu'il est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle, donc que OA = OB = OC.
Tu prouves sans trop de difficulté que chaque médiane est aussi médiatrice du triangle.
Il n'y a qu'une sorte de triangle qui corresponde : le triangle équilatéral...

Mais il faut commencer par à montrer que, si en appelant M le milieu de [BC], alors [AM] est la médiane relative à [BC].
IL faut que tu prouves que $OM = \frac 1 3 AM$ ou $AO=\dfrac 2 3 AM$
(Les médianes d'un triangles se coupent aux 2/3 de leurs longueurs à partir de leur sommet).
Tu as besoin de montrer que A, O et M sont alignés
Les nombres 2 et 3, tu les as déjà mis en évidence...

Par exemple, tu as écrit que :
$3\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}$
On continue :
$\vec{OA}=-\dfrac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}=- \dfrac{2 \vec{AM}}{3}$ ou encore $\vec{AO}=\dfrac 2 3 \vec{AM}$

Tu as l'alignement (vecteurs colinéaires) et le 2/3...

Tu renouvelles avec $\vec{OB}$ et $\vec{OC}$ avec (par exemple) N milieu de [AC] et P milieu de [AB]
Et tu as tout ce qu'il faut pour conclure...

@+

[EDIT]

Pour ta culture :

Exo d'un DM de 3e conduisant à montrer la propriété vectorielle du centre de gravité :

On considère un triangle ABC quelconque. M, N et P sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AB] et [AC]. Tracer les 3 médianes : elles se coupent en G. Placer le point D tel que M soit le milieu de [GD].
1. Quelle est la nature du quadrilatère BDCG ?
2. a) Prouver alors par un raisonnement purement géométrique que $\vec{GD}=2\vec{GM}$. En déduire que $\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GM}$.
b) Autre méthode. Montrer en utilisant la relation de Chasles (Décomposer $\vec{GB}$ et $\vec{GC}$ en passant par M) que $\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GM}$...
3. Une propriété du centre de gravité a été vue dans un précédent DM : l'utiliser pour prouver alors que $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$.

CO2 · 12-07-2024 16:34:02

Bonjour.

Pendant les vacances je fais un peu de maths pour préparer mon entrée en terminale et pour après et je suis actuellement tombé sur cet exercice pour lequel j'ai du mal :

Soient un triangle $ABC$ et le centre $O$ du cercle circonscrit à ce triangle. On suppose que la somme vectorielle $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$. Quelle est la nature du triangle ?

Je suis parti sur le fait que
$$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}\iff\vec{OA}+(\vec{OA}+\vec{AB})+(\vec{OA}+\vec{AC})=\vec{0}\iff3\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}$$
et donc que
$$\vec{OA}=\frac{\vec{BA}+\vec{CA}}{3}$$
on remarque aussi que c'est la même en changeant le point $A$ en $B$ ou $C$ ($\vec{OC}=\frac{\vec{AC}+\vec{BC}}{3}$ par exemple); mais je ne comprends pas où je vais avec ça.

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