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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 15-01-2024 08:55:15
Bonjour ,
La racine j ( et puissances) cubique de 1 est sous-jacente à la suite de Michel.
L'incrément pour passer du rang n au suivant est $1+j^r+j^{2r}$
Avec r le reste dans la division de n par 3.
Il vaut 3 si r vaut 0, 0 si r=1 ou 2( immédiat avec les propriétés de j).
Il bouge donc de 3 que tous les 3 fois.
La même suite (récurrente) avec une version soft: $ u_0 = u_1 = u_2 = 0, u_{n+3} = u_n + 3$.
La pénalité à payer est de fournir 3 valeurs initiales au lieu d'une.
Question subsidiaire: une suite définie par $u_0 = u_1 = u_2 =...= u_{p-1} et u_{n+p} = u_n + p$ peut-elle toujours
s'exprimer avec une récurrence d'ordre 1 ( moyennant des complexes...) ?
Bonne journée
A.
- Borassus
- 15-01-2024 00:52:07
Bonjour,
Une suite indexée par p de suites, qui correspondent peut-être plus à ce que vous cherchez:
$ n\mathbb{I}_{E(n/p) \in 2\mathbb{N}} + pE(n/p)\mathbb{I}_{ E(n/p) \notin 2\mathbb{N}}$Pour p = 2 cela donne la suite 0,1,2,2,4,5,6,6,...
Pour p = 3 0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9
etc
A.
Bonjour,
J'ai programmé les suites sous Excel avec p = 2, p = 3, p = 4 et p = 5.
Voilà ce que cela donne:
Pour p = 2 :
0,1,2,2,4,5,6,6,8,9,10,10,12,13,14,14,16,17,18,18,20,21,22,22,24,25,26,26,28,29,30,30,32...
pour p =3 :
0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9,12,13,14,15,15,15,18,19,20,21,21,21,24,25,26,27,27,27,30...
pour p=4 :
0,1,2,3,4,4,4,4,8,9,10,11,12,12,12,12,16,17,18,19,20,20,20,20,24,25,26,27,28,28,28,28,32...
pour p =5 :
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,10,11,12,13,14,15,15,15,15,15,20,21,22,23,24,25,25,25,25,25,30...
Bonne journée, et bonne et fructueuse semaine
- Borassus
- 14-01-2024 23:48:37
Bonsoir (ou bonjour) Michel et ceux qui suivent cette discussion.
Whouf, une formulation impressionnante pour une suite par paliers "bégayant" la table de multiplication de 3 ! :-)
0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 12, 12, 12, 15, 15, 15 etc. (calcul sur Excel en comprenant que les parties imaginaires s'annulent).
Merci !
- Michel Coste
- 14-01-2024 19:16:22
Bonjour,
$$\large\begin{aligned} u_0&=0\\ u_{n+1}&=u_n+1+e^{2ni\pi/3} +e^{4ni\pi/3}\end{aligned}$$
- Borassus
- 13-01-2024 21:09:12
PS : Comment est désignée cette fonction ?
Je n'avais pas enregistré l'indication de LionAuthentique : "fonction indicatrice".
Effectivement j'en connaissais le principe.
- Borassus
- 13-01-2024 20:40:44
Tu peux toujours définir une suite à l'aide de fonctions indicatrices, par exemple :
$\forall n \in \mathbb{N}: u_n = (3n+1)\ \mathbb{I}_{n<=10} + 50\ \mathbb{I}_{10<n<=20} + n^2\ \mathbb{I}_{20<n}$
Et là, the sky is the limit... Mais, ça reste lourd à écrire.
J'ai compris cette façon de définir les paliers "à la main". Oui, c'est lourd à écrire, surtout si on veut définir plusieurs paliers.
Merci encore.
- Borassus
- 13-01-2024 20:37:01
Merci Alain de cette explication ! (Comme j'avais principalement vu vos messages signés A. et une fois Alain, j'ai préféré, dans le doute, écrire "merci, A." :-)
La logique sur laquelle je ferai plancher certains élèves (que je sentirai capables d'encaisser le coup) sera donc
$u_n = n \times k + p \times E(n/p) \times k'$
avec $k$ est égal à 1 si la partie entière de $\frac{n}{p}$ est paire, et égal à 0 dans le cas contraire ;
et avec $k'$ est égal à 1 si la partie entière de $\frac{n}{p}$ est impaire, et égal à 0 dans le cas contraire.
Je demanderai d'étudier d'abord le cas où $p=1$ : ce cas présente-t-il un intérêt ?
Puis pour $p = 2$, $p = 3$.
(Je crois que je m'amuserai à programmer cette suite. :-)
Merci encore.
Boris
PS : Comment est désignée cette fonction ?
- bridgslam
- 13-01-2024 19:25:58
Bonsoir,
C'est la fonction égale à 1 sur la partie mise en indice, 0 ailleurs. Normalement il faudrait faire un 1 spécial, en latex je ne sais pas faire (d'où le I à la place, mais ça tombe plutôt bien.
Elle joue beaucoup en théorie de l'intégrale de lebesgue ( les fonctions simples sont les combinaisons linéaires d'indicatrices mesurables).
Elle sert aussi à définir les mesures à densité.
Alain
- Borassus
- 13-01-2024 19:10:31
En lisant la proposition de suite de bridgslam — merci A. c'est précisément le type de suite que je veux pouvoir montrer ! —, je me suis rendu compte que je n'avais pas véritablement compris la notation utilisée par LionAuthentique.
Donc, comment lire les notations de vos deux suites ?
Que signifie ce I double ? indice ? Comment l'obtenir dans l'éditeur LaTeX ?
- bridgslam
- 13-01-2024 18:48:14
Bonjour,
Une suite indexée par p de suites, qui correspondent peut-être plus à ce que vous cherchez:
$ n\mathbb{I}_{E(n/p) \in 2\mathbb{N}} + pE(n/p)\mathbb{I}_{ E(n/p) \notin 2\mathbb{N}}$
Pour p = 2 cela donne la suite 0,1,2,2,4,5,6,6,...
Pour p = 3 0,1,2,3,3,3,6,7,8,9,9,9
etc
On reste dans un registre arithmétique mais c'est déjà ça.
A.
- Borassus
- 13-01-2024 17:50:04
Bonjour LionAuthentique,
Merci de ta réponse.
Justement, je me disais que les suites jusqu'ici proposées n'évoluent que par paliers.
Ce que j'aimerais, c'est trouver une suite qui, par sa définition, présente une alternance entre termes croissants et termes constants.
- LionAuthentique2303
- 13-01-2024 13:57:25
Tu peux toujours définir une suite à l'aide de fonctions indicatrices, par exemple :
$\forall n \in \mathbb{N}: u_n = (3n+1)\ \mathbb{I}_{n<=10} + 50\ \mathbb{I}_{10<n<=20} + n^2\ \mathbb{I}_{20<n}$
Et là, the sky is the limit... Mais, ça reste lourd à écrire.
- bridgslam
- 13-01-2024 08:44:04
Bonjour,
Il fait partie (dans ma mémoire) des exercices marquants.
Donner l'expression au rang n ou question voisine.
Il était faisable en étant guidé sauf erreur, genre niveau taupe.
J'essaierai de le retrouver dans mes archives.
Bonne journée
A.
- Borassus
- 12-01-2024 21:15:43
La suite à paliers suivante met en valeur l'écart entre simplicité, et difficulté: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ....
Je vous laisse deviner la question... :-)
Je pressens une utilisation de l'arithmétique modulaire, mais pour l'instant, je tâtonne.
- Borassus
- 12-01-2024 13:25:58
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
Notre lycée avait une fois invité Pierre Dac. Un petit c.. lui avait demandé s'il n'était pas gêné par ses initiales.