Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

1. Oui, $\frac  a b = a \times \frac 1 b$
    $\frac 1 b$ est l'inverse de b
2. Donc $\dfrac{\frac a b}{\frac c d} = \frac a b\times \dfrac{ 1}{\frac c d}$
    $\dfrac{ 1}{\frac c d}$ c'est l'inverse de la fraction $\frac c d$
    Et si on retourne à la définition de l'inverse, l'inverse de $\frac c d$, c'est la fraction $\frac e f$ telle que $\frac c d \times \frac e f=1$
    Comme j'ai choisi (et c'est toujours possible) $\frac c d$ irréductible, on trouve rapidement que e = d et f = c.
    D'où $\dfrac{ 1}{\frac c d} ={\frac d c}$

Et donc enfin :
$\dfrac{\frac a b}{\frac c d} = \frac a b\times \dfrac{ 1}{\frac c d}= \frac a b\times \frac d c$

C'est plus clair comme ça ? ;-)

@+

[EDIT] utilité de :

1. Le quotient exact d'un nombre $b$ par un nombre $a$ s'écrit $\frac b a$
2. La définition du quotient exact du nombre b par le nombre a est : c'est le nombre q tel que $b =a\times q$

On peut donc dire que $\dfrac{\frac a b}{\frac c d}$ c'est la fraction $\frac e f $ quotient exact de $\frac a b$ par $\frac c d$
$\dfrac{\frac a b}{\frac c d}=\frac e f$ et $\frac e f$ est telle que $\frac c d \times \frac e  f = \frac a b$
Et donc
$e = a\times d$ et $f =b\times c$
Ainsi, on a bien :
$\frac c d \times \frac{ad}{bc}=\frac a b$
C'est là qu'il ne faut pas perdre le fil...
On a donc :
$\dfrac{\frac a b}{\frac c d}=\frac{a\times d}{b\times c}=\frac a b \times \frac d c$

Je n'avais pensé à ça...

Bon, tu disposes de 2 réponses maintenant... ^_^

Chercher à comprendre plutôt qu'apprendre "bêtement" des formules est la clé de la réussite !
Clap ! Clap ! Clap ! Applaudissements nourris...

Bonsoir,

Tu as bien tout compris ? Pas de zone d'ombre ? Tu sais, personne n'est parfait...

A ta question pour une fois, je réponds à ta question par une autre question et si tu veux additionner de valeurs l'une en £, l'autre en $\$$ tu fais quoi ?

Considère qu'une fraction représente un partage (bon, c'est aussi l'écriture du quotient de 2 nombres) :
$\frac 4 5$ d'une somme S - $\frac 3 7$ de la même somme, ça représente quelle fraction de la somme S ?
Difficile à dire, s'pas...
$\frac 4 5$ d'une somme S : tu as pris une somme S, et tu l'as répartie  en 5 petits tas de même valeur et tu en a pris 4
$\frac 3 7$ de la même somme S : tu as pris une somme S, et tu l'as répartie  en 7 petits tas de même valeur et tu en a pris 3
Et maintenant tu dois retirer du groupe des 4 les 3 tas du groupe des 3...

Pas possible, chaque élément du 2e groupe n'a pas la même taille que chaque élément du groupe 1...
Il faut trouver une taille commune aux deux tas qui sera le PPCM (plus petit commun multiple) de 5 et 7 soit 35
On reprend la somme S que l'on ne partage pas en 5 mais en 35 parts, et on prend non plus 4 parts mais 28 :$
$\frac 4 5=\frac{4\times 7}{5 \times  7}=\frac{28}{35}$

On reprend la somme S que l'on ne partage pas en 7 mais en 35 parts, et on prend, non plus 3 parts, mais 15 :
$\frac 3 7=\frac{3\times 5}{7 \times  7}=\frac{15}{35}$
Maintenant :
-  le groupe 1 est composé de 28 parts égales chacune à $\frac{1}{35}$ de la somme S
-  le groupe 2 est composé 15 parts égales chacune à $\frac{1}{35}$ de la somme S
Toutes les parts ont la même taille...
Maintenant :
$\frac 4 5$  $\frac 3 7$ n'est plus un casse-tête, il est remplacé par : $\frac{28}{35}d'une somme S -$\frac 3 7$ de la même somme S :
$\frac 4 5-\frac 3 7=\frac{28}{35}-\frac{15}{35}=\frac{28-15}{35}=\frac{13}{35}$

N-b : Suppose que tu aies une pile de de cylindres en bois : ce n'est parce que tu lui rajoute des cylindres de mêmes dimensions ou que tu enlèves que ça va modifier les dimensions de chaque cylindre...
Ce n'est donc pas parce que tu vas retirer 15 parts (correspondant chacune à 1/35 de S) aux 28 parts (correspondant chacune à 1/35 de S) que ça va modifier la taille de chaque part. Idem si tu en rajoutes : le dénominateur ne change plus...

C'est bon ?

@+

Bonjour Tania,

Pour la multiplication des fractions, je vais te donner une illustration.
Dessine un rectangle de 5 carreaux sur 7.
On veut effectuer $\frac 4 5 \times \frac 3 7$

Tu vas matérialiser à l'intérieur de de rectangle un autre rectangle plus petit qui aura d'une part une  longueur de de 4 carreaux sur les 5 et une largeur de 3 carreaux sur les possibles.
Le rectangle de départ contiendra 5 x7 = 35 carreaux identiques.
Le 2e rectangle contiendra 4 x 3 = 12 carreaux.
Il occupera une surface de  12 carreaux sur les 35 au total soit  $\dfrac{12}{35}e$ du rectangle de départ

L'aire d'un rectangle se calcule en faisant  Longueur x largeur...
La surface du petit rectangle est donc bien $\frac 4 5 \times 3 7$ et on a vu que c'était $\dfrac{12}{35}$
D'où
$\frac 4 5 \times \frac 3 7=\dfrac{12}{35}=\dfrac{4 \times 3}{5 \times 7}$

Concernant la division.
Tu dois savoir que l'inverse de 2 c'est $\frac 1 2$ parce que $2 \times \frac 1 2=1$
En 4e (c'est déjà loin) on apprend la définition de l'inverse d'un nombre $a (\neq 0)$ on écrit encore $a \in \mathbb R^*$, l'ensemble $\mathbb R$ privé de 0
N-B : 0 n'a pas d'inverse.
L'inverse de $a\in \mathbb R^*$, c'est le nombre $a'$ tel que $a \times a'=1$ on le note $a'=\frac 1 a$
Diviser a par b, c'est multiplier a par l'inverse de b :
$\frac a b =a \times 1 b$
Diviser une fraction $\frac a b$ par une fraction $\frac c d$, c'est multiplier la fraction numérateur par l'inverse de la fraction dénominateur...

Mais quel est donc l'inverse de la fraction $\frac c d$ ?
Eh bien,  c'est la fraction $\frac {c'}{d'}$ telle que $\frac c d \times \frac {c'}{d'}=1$ soit $\frac{c\times c'}{d\times d'}=1$ ce qui permet d'écrire que $c'=d$  et $d'=c$.
L'inverse de $\frac c d$ c'est donc $\frac d c$

Et par conséquent $\dfrac{\frac a b }{\frac c d}=\frac a b \times \frac d c$

Ça convient ?
Je ne sais même pas si la démonstration existe pour la division dans les manuels de 4e : je viens de l'improviser parce que, si ma mémoire ne me joue pas des tours, je ne sais même plus si je l'ai déjà enseignée (j'en doute)...
Quelqu'un dans ce cas te le dira...

@+