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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Eust_4che
- 11-05-2022 11:00:28
Merci beaucoup Fred !
Je vais creuser cette histoire de module de torsion et de noyaux.
- Fred
- 09-05-2022 16:42:59
Bonjour,
Voici une réponse sous toutes réserves (ça fait longtemps que je n'ai pas fait ce genre de maths!).
Si tu prends $A=\mathbb Z$ et $E=\mathbb Z/n\mathbB Z$, je pense que l'application canonique $i:E\to E^{**}$
est identiquement nulle. En effet, prends $\bar k\in E$ et $f\in M^*$. Alors $i(\bar k)(f)=f(\bar k)$.
Mais comme $n\bar k=\bar 0$, $nf(\bar k)=f(n\bar k)=0$ et comme $A$ est intègre, $f(\bar k)=0$.
Cette référence semble indiquer que si $A$ est intègre et $E$ est un $A$-module de type fini, le noyau de l'application canonique de $E$ dans $E^{**}$ est le sous-module de torsion de $E$.
F.
- Eust_4che
- 09-05-2022 15:20:00
Bonjour à tous et à toutes,
Étant donné un module $E$ sur un anneau $A$ quelconque, on définit une application de $E$ dans son bidual $E^{**}$ grâce au crochet de dualité. Si $A$ est un corps, cette application est injective ; c'est un résultat connu et présenté dans la plupart des manuels de mathématiques. Si on se restreint à un $A$-module libre de type fini, on peut aussi démontrer qu'elle est injective (et même surjective). Par contre, d'après Bourbaki, elle ne l'est pas en général, et voilà depuis hier que je cherche un contre-exemple.
La seule indication tient encore à Bourbaki : "considérer un module contenant un élément dont l'annulateur contient un élément non diviseur de 0", mais pour moi l'annulateur est un module, donc je vois pas d'où sortent les diviseurs.
J'ai beau cherché sur internet et dans les livres, je ne trouve pas, la plupart des références ne présentant que le cas où $A$ est un corps. En avez-vous ?
E.