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Bonjour,

Bel effort, mais je doute que Tania revienne chercher une autre réponse à la question fin juillet l'ayant posée le 22 janvier 6 mois plus tard...

Proposition de matou. Pourquoi ne serait-ce pas un contre-exemple ?
1. Oui D(2 ; 1). Alors $\overrightarrow{AB}(0\,;\,1)$ et $\overrightarrow{CD}(1\,;\,1)$
    L'un est vertical et l'autre incliné à 45° : ils ne sont pas parallèles.
    Ou encore, il est impossible de trouver $k \in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$ :
    On aurait $\overrightarrow{AB}(0\,;\,1)= k\overrightarrow{CD}(k\,;\,k)$ et  on devrait avoir alors k=0 et k=1...

2. Sans calculs. Soit M le milieu de [BD]. On a alors $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BM}$
    Et, puisque $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AC}$, alors $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}$
    BMCA est donc un parallélogramme et on a encore (AB)//(CM).
    Pour que (AB)//(CD), puisque B, M, D sont alignés, il faudrait que M et D soient un même point :
    ce n'est pas le cas puisque M est le milieu de [BD].

@+

Bonjour,

1) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Tu dois pouvoir donner une relation très simple entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (ça devrait être dans ton cours). Ensuite, tu remplaces $\vec{v}$ par son expression en fonction de $\vec{u}$, dans $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} - \vec{v}$. Tu obtiens deux expressions que tu peux factoriser.

2) $\vec{BD} = 2 \cdot \vec{AC}$.
Tu dois prouver qu'une proposition est fausse. Donc, il suffit de trouver un contre exemple. Pour cela, un petit dessin serait utile.
Par exemple, prend A(0, 0), B(0, 1),  C(1, 0)... Je te laisse trouver D.
(AB)//(CD) se traduit simplement avec les vecteurs $\vec{AB}$ et  $\vec{CD}$. Vérifie que la relation attendue n'est pas vérifiée.

Bon courage

Matou