Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Si tu prends (par exemple) $\{ n\sqrt{2}, n \in \mathbb{N}^*\}$ tu pourras constater que ces nombres sont forcément dans des classes différentes. Donc la quantité de classes selon cette relation d'équivalence est au moins infini dénombrable.
Pousser plus avant l'investigation, à savoir décrire complètement les classes ne me semble pas trivial, mais on peut se limiter déjà aux irrationnels dans ]0,1[ puisque à une translation d'un entier près, on atteint le reste (avec AC).
Normalement on doit pouvoir montrer que cette partie du segment [0,1] n'est pas dénombrable non plus en montrant qu'elle n'est pas mesurable au sens de Lebesgue, donc encore moins de mesure nulle, ce qui ne serait pas le cas si elle était dénombrable.
Cela doit nécessiter l'axiome du choix je pense.
Par surjection canonique le nombre de classes sur $\mathbb{R}$ , qui est de cardinal $\aleph1$ est donc aussi $\aleph1$.

Sinon, si la question stricto sensu est de déterminer la classe de x (réel quelconque) eh bien c'est $x +\mathbb{Q}$, La Palisse ne ferait pas mieux!

A.

Bonsoir,

Il faut et il suffit que [tex]y-x[/tex] soit rationnel. What else ?
Et nécessairement  [tex]y[/tex] est irrationnel. Vois-tu pourquoi ? Par contre, ce n'est bien sûr pas suffisant.