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Bonjour,
j'essaye de démontrer le théorème de la partition d'unité qui dit ceci: soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^n$ et soit $(\Omega_j)_{j=1,\ldots,n}$ des ouverts de $\mathbb{R}^n$ tel que $K \subset \cup_{j=1}^n \Omega_j= \Omega$. Alors, il existe $\varphi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ avec $j=1,\ldots,n$ tels que: $0 \leq \varphi_j \leq 1$ et $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ au voisinage de $K$.
J'ai trouvé la démonstration suivante: il existe des compacts $(K_j)_{j=1,\ldots,n}$ tels que $K_j \subset \Omega_j$ pour tout $j=1,\ldots,n$ et $K \subset \cup_{j=1}^n K_j$. Par le lemme d'Urysohn, il existe $\psi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tel que $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ sur un voisinage ouvert $K'_j$ de $K_j$.
D'un autre côté, $V=\cup_{j=1}^n K'_j$ est un voisinage ouvert de $K$ et on remarque que $\sum_{j=1}^n \psi_j > 0$ sur $V$. Il exuste $\theta \in \mathcal{D}(V)$ tel que $\theta=1$ sur un voisinage $W$ de $K$. On pose
$$
\psi_0(x)=
1-\theta(x)
=
\begin{cases}
1 &:x \in C V,\\
0 &: x \in W
\end{cases}
$$
et on remarque que $\psi_0$ n'est pas une fonction test.

On pose
$$
\varphi_j=\dfrac{\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_j} \in \mathcal{D}(\Omega_j), \ j=1,\ldots, n.
$$
On remarque que $\sum_{i=0}^n \psi_i >0$ car pour tout $x \in V$ on a:
$$
\sum_{j=0}^n \psi_j = \sum_{j=1}^n \psi_j + \psi_0 > 0,
$$
Par contre si $x \in C V$ alors $\psi_0=1$ et donc
$$
\sum_{j=1}^n \varphi_j = \dfrac{\sum_{j=1}^n \psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i}
$$
est bien définie.
On remarque que pour $x \in W$, on a que $\psi_0=0$ implique $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ en sachant que $W$ est un voisinage de $K$.

Dans cette démonstration, je ne comprends pas les choses suivantes:
1- pourquoi ne pas prendre directement $\varphi_j=\dfrac {\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$?
2- Si $\psi_0$ n'est pas une fonction test alors comment peut ont dire de $\dfrac {\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_j}$ que c'est une fonction test?
3- Pourquoi avoir besoin d'introduire les fonctions $\theta$ et $\psi_0$ dans cette preuve?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.