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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zarathoustram
- 27-10-2021 20:31:41
Bonsoir Fred,
Je te remercie pour tes explications, j'ai mis tout ça au propre !
A une prochaine fois !
- Fred
- 27-10-2021 18:07:17
Bonsoir,
D'abord, ta preuve ne fonctionne pas : en effet, ta fonction $f$ dépend de $\alpha$, alors que tu voudrais démontrer que la fonction n'est pas continue en $f$, mais si $f$ varie....
Plus précisément, tu démontres que $f$ n'est pas uniformément continue.
En réalité, ta preuve fonctionnerait en prenant $f=0$, et en gardant la même définition pour $g$.
Et c'est là que tu te ramènes à la norme d'une application linéaire : une application linéaire est continue si et seulement si elle est continue en $0$ si et seulement si elle est lipschitzienne si et seulement si sa norme est finie.
F.
- Zarathoustram
- 27-10-2021 14:23:59
Bonjour,
J'ai un exercice avec le corrigé que je ne comprends pas vraiment. Voici l'énoncé:
On considère la dérivation $D : \mathcal{C}^1 ([0, 1]) \rightarrow
\mathcal{C} ([0, 1])$ définie par $f \mapsto f'$ et on munit les deux
espaces de la norme $\| \cdot \|_{\mathcal{C}}$. $D$ est-elle continue ?
Et le corrigé:
On a, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\| D \| = \sup \left( \dfrac{\| D
(f) \|_{\mathcal{C}}}{\| f \|_{\mathcal{C}}} \right) \geqslant \dfrac{\| D
(e^{\alpha x}) \|_{\mathcal{C}}}{\| e^{\alpha x} \|_{\mathcal{C}}} = | \alpha
|$, donc $\| D \| = + \infty$ et $D$ n'est pas continue.
Je ne vois pas vraiment le lien entre la norme de $D$ qui est infini et la non-continuité de $D$, mais j'ai réussi à le résoudre autrement:
En supposant par l'absurde que $D$ est continue, on a pour tout $\varepsilon >
0$ et pour tout $f \in \mathcal{C}^1 [0, 1]$, l'existence d'un $\delta > 0$ tel que
pour tout $g \in \mathcal{C}^1 ([0, 1])$, si $\| f - g \|_{\mathcal{C}} <
\delta$, alors $\| D (f - g) \|_{\mathcal{C}} < \varepsilon$.
A $\varepsilon > 0$ fixé, on pose $f : x \mapsto c_1
e^{\alpha x}$ et $g : x \mapsto c_2 e^{\alpha x}$. On a donc $\| f - g
\|_{\mathcal{C}} < \delta$ si $| c_1 - c_2 | < \dfrac{\delta}{\| e^{\alpha x}
\|_{\mathcal{C}}}$ et $\| D (f - g) \|_{\mathcal{C}} = | \alpha | | c_1 - c_2
| \| e^{\alpha x} \|_{\mathcal{C}} < \varepsilon$.
On pose $c_2$ tel que $| c_1 - c_2 | = \dfrac{\delta}{2 \| e^{\alpha x}
\|_{\mathcal{C}}}$ et l'on a
$\| D (f - g) \|_{\mathcal{C}} = | \alpha | | c_1 - c_2 | \| e^{\alpha x}
\|_{\mathcal{C}} = \dfrac{| \alpha | \delta}{2} < \varepsilon$, ce qui est absurde lorsque l'on fait tendre $\alpha$ vers l'infini.
Je sens bien que mon raisonnement utilise implicitement l'argument $\| D \| = + \infty$, mais je ne vois pas vraiment où ni comment. Pourriez-vous me donner quelques indications ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !