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Bonsoir,

Enfin une ultime méthode, la "rustique".
La suite, convergente est bornée et à valeurs entières,
Donc les valeurs prises sont parmi les entiers
N, N+1, ...., N+K.
Une suite convergente ayant une unique valeur d'adhérence, un seul de ces entiers, disons M, est donc image de la suite une infinité de fois.
Pour les K autres, donc une quantité finie, ils sont image de la suite pour un ensemble fini d'indices: ainsi au delà d'un indice assez grand, l'image est M.
C'est bien ce qu'on voulait.

On remarque que le contexte est un cas particulier d'une proposition plus étendue, celle qui touche à l'essentiel:

Le contexte de l'exercice ne fait que draper ces propriétés en se plaçant d'emblée dans [tex]\mathbb{Z}[/tex]
La rusticité a le mérite ici, selon moi, de  pointer  la pierre d'achoppement du phénomène.

Alain

Hysed, Casqué, le jaguar, pas masqué. Il ne faut pas voir des masques partout...

Comme indiqué plus haut, la méthode du jaguar casqué consiste à se ramener au cas précédent.

Paco.

Bonjour,

Si vraiment tu ne connais pas les suites de Cauchy ( à mon sens le plus simple ici) , tu peux toujours utiliser l'inégalité triangulaire sur la différence de deux termes de la suite en faisant intervenir la limite L.
C'est Cauchy en toile de fond, en preuve directe si inconnu au bataillon...

Alain

Bonjour,
Ta suite est une suite de Cauchy,  à partir d’un certain rang, la différence de deux termes en valeur absolue  de la suite est <1, donc ils sont tous  égaux à partir de ce rang, le seul entier positif <1 étant 0.

Alain

Bonjour,
Sur le site, au niveau des exercices proposés, il y a un exercice de suites dont je n'arrive pas à vraiment comprendre la démarche entreprise pour le résoudre.
L'énoncé est le suivant :

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{Z}$ , convergente. Montrer, en utilisant la définition, que $(u_n) $ est stationnaire.

Et la réponse consiste en l'usage d'un $\epsilon$ de valeur $1/4$ et de l'inégalité triangulaire d'une manière très semblable à celle utilisée pour démontrer que toute suite convergent dans $\mathbb{R}$ est suite de Cauchy.

Mais je me demandais si la démarche que j'ai entrepris personnellement pour résoudre cet exercice peut être considérée comme correcte, puisqu'elle n'utilise pas les mêmes éléments de raisonnement que celle du corrigé.

Voici ma façon de procéder qui est super simple :
Prenons $\epsilon = 1/3$  (ou n'importe quel autre chiffre inférieur à $1$ et supérieur à $0$)
Utilisons ce $\epsilon$ dans la définition de convergence, ce qui nous donne qu'à partir d'un certain seuil $n_\epsilon$, toutes les valeurs de $u_n$ sont à distance inférieure à $1/3$ du point $l$ vers lequel la suite tend. [$n\geq n_\epsilon \Rightarrow |u_n-l|<\epsilon=1/3$]
Or, deux entiers qui ont un écart inférieur à $1$ sont égaux (je sais pas si on doit justifier ça avec une définition ou quoi, mais je pense que la simple compréhension ""intuitive"" des entiers permet de le faire).
Et donc, $u_n=l$ à partir du seuil $n_\epsilon$, et comme la définition d'une suite stationnaire est qu'elle est égale à une certaine valeur à partir d'un certain seuil, nous avons la suite $u_n$ qui est égale $l$ à partir du seuil $n_\epsilon$. Et donc que la suite est par conséquent stationnaire.

Voilà, je sais pas si ce que j'ai écrit est erroné, correct ou n'a aucun sens, et je compte sur vous pour m'éclairer
Merci d'avance