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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Thgues
- 13-01-2022 14:14:38
Bonjour Paco, et merci !
- Paco del Rey
- 12-01-2022 18:41:36
Bonsoir,
Si on note [tex]f_N = \sum\limits_{-N}^N \alpha_n e_n[/tex] alors [tex]f[/tex], est la limite uniforme de fonctions continues, donc elle est continue de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex] ,
De plus, si $\vert n\vert \leqslant N$ alors [tex]\alpha_n= \dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f_N(t) e^{-int} \ dt[/tex] qui converge vers
$c_n(f)$.
Paco.
- Thgues
- 12-01-2022 17:35:12
Bonjour,
On note [tex]L^1[/tex] l'espace vectoriel des fonctions [tex]f : R\to C[/tex], [tex]2\pi[/tex]-périodique et Lebesgue-mesurable telle que [tex]||f||_1<\infty[/tex].
On note C l'espace des fonctions continues de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex], [tex]2\pi[/tex]-périodiques.
Pour tout [tex]n\in Z[/tex], on désigne par [tex]e_n[/tex] la fonction [tex]t\to e^{int}[/tex].
Enfin, pour [tex]f\in L^1[/tex] et [tex]n\in Z[/tex], on définit [tex]c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}dt[/tex].
Il est affirmé dans mon cours que :
Si [tex]\sum_{-N}^N \alpha_n e_n[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex], alors [tex]f[/tex] est continue de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex] et [tex]2\pi[/tex]-périodique, et [tex]\alpha_n=c_n(f)[/tex], pour [tex]n\in Z[/tex].
Egalement, il est affirmé que pour [tex]f\in[/tex] C telle que sa série de Fourier converge uniformément, alors la somme de la série coïncide avec la fonction.
J'aimerais d'abord comprendre comment démontrer la première proposition.
Merci pour vos indications.