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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Thgues
- 12-01-2022 17:22:22
Effectivement, merci Fred.
- Fred
- 12-01-2022 13:41:25
Bonjour,
S'il n'y a pas de propriétés supplémentaires sur la fonction $f$, alors le résultat est faux. Sinon, toute fonction à valeurs réelles aurait tous ses coefficients de Fourier nuls, ce qui n'est pas le cas (penser à $\cos(x)$ par exemple).
F.
- Thgues
- 12-01-2022 13:33:52
Bonjour,
Je travaille actuellement sur les coefficients de Fourier.
On définit pour tout [tex]n\in Z, c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt[/tex].
Il est annoncé que [tex]c_n(Re(f))=0[/tex] avec [tex]Re(f)=\frac{1}{2}(f+\bar{f})[/tex].
Voici la démonstration proposée :
On a [tex]Re(f)=\frac{1}{2}(f+\bar{f})[/tex].
Donc [tex]c_n(Re(f))=\frac{1}{2}(c_n(f)+c_n(\bar{f}))=\frac{1}{2}(c_n(f)+\overline{c_{-n}(f)})=0[/tex] car [tex]c_n(\bar{f})=\overline{c_{-n}(f)}[/tex]
Bon, c'est le [tex]\frac{1}{2}(c_n(f)+\overline{c_{-n}(f)})=0[/tex] que je ne saisis pas.
En y regardant de plus près, on a :
[tex]c_n(f)+\overline{c_{-n}(f)}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt+\overline{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{int}dt}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{f(t)}e^{-int}dt
=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(f(t)+\overline{f(t)})e^{-int}dt[/tex]
Ainsi, [tex]c_n(Re(f))=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}Re(f(t))e^{-int}dt[/tex]...
Voilà, je ne vois pas d'où vient le fait que les coefficients de Fourier de la partie réelle sont nuls.
Merci pour votre aide !