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Bonjour,

D'après les hypothèses, on s'intéresse à une fonction définie sur Z (la restriction). Le report des propriétés de f à sa restriction, qui sont à vérifier (facile ), est donc en rapport pour chaque point x de Z uniquement avec les voisinages  de x dans Z.
Ce sont normalement les traces sur Z des voisinages de x dans X. Le transfert s'effectue en reprenant toutes les définitions.
Z peut être quelconque.
On retrouve le même genre de questions sur les filtres quand on s' intéresse aux limites dans un cadre général avec un ensemble de départ
qui n'a pas forcément une structure topologique, mais possède un filtre.
Si  tout F du filtre intersecte une partie Z donnée, [tex]\{ F \cap Z \}[/tex]  est bien un filtre sur Z.
( par exemple X muni d'une topologie, F est le filtre des voisinages de x avec x adhérent à Z )
Alors les limites de la restriction de f à Z prennent sens selon ce nouveau filtre.

Alain

Bonjour,

Je cherche à démontrer la proposition suivante :

Soient [tex]Z\subset X \subset R^n[/tex].
Si [tex]f : X\to R^n[/tex] est [tex]C^k[/tex], alors sa restriction [tex]f_Z : Z\to R^n[/tex] l'est aussi.
Je dois donc démontrer que [tex]f[/tex] est [tex]C^k[/tex] dans un voisinage de chaque point de [tex]Z[/tex].
Or, [tex]f : X\to R^n[/tex] est [tex]C^k[/tex] c'est-à-dire [tex]f[/tex] est [tex]C^k[/tex] dans un voisinage de chaque point de [tex]X[/tex].
Or, pour [tex]z\in Z[/tex], on a [tex]z\in X[/tex] car [tex]Z\subset X[/tex] et donc il existe un voisinage de [tex]z\in Z[/tex] sur lequel [tex]f_Z[/tex] est [tex]C^k[/tex].

Est-ce que cette preuve est suffisante ?

Merci pour vos indications.