Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  Je crois que tu t'es trompé dans l'énoncé : tu voulais prouver que $a^k$ est générateur de G si et seulement si.....

Dès que tu as $(a^k)^p=a$, tu sais que $a^k$ est générateur, puisque si tu prends n'importe quel $g\in G$, tu sais qu'il existe $m$ tel que $g=a^m=(a^k)^{pm}$.

F.

Bonjour,

Je refais la démonstration de la proposition suivante :

Soit [tex]G[/tex] un groupe d'ordre [tex]n[/tex].
Soit [tex]G=gr(a)[/tex] un groupe cyclique. Alors a est un générateur de G si et seulement si [tex]pgcd(k,n)=1[/tex].

Si [tex]pgcd(k,n)=1[/tex], on a alors [tex]p,q \in Z[/tex] tels que 1=kp+nq, donc [tex]a=a^{kp+nq}=(a^k)^p(a^n)^q=(a^k)^p[/tex] donc [tex]a^k[/tex] est générateur de [tex]G[/tex].

Parenthèse... Donc [tex]a[/tex] est dit générateur de [tex]G=gr(a)[/tex] si et seulement si il existe [tex]p\ge 1[/tex] tel que [tex]a=(a^k)^p[/tex] ?
D'où vient cette caractérisation ?
Ca n'apparaît pas dans ce qui précède. Ou alors cela découle-t-il logiquement d'une définition ?

Merci d'avance pour vos indications.