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Bonjour,

[tex]f[/tex] fonction de [tex] \mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ?
Tu peux considérer la borne inf de [tex] A_p[/tex] (si non vide) , disons q, qui est réelle ou égale à [tex]-\infty[/tex].
$A_p$ est alors un intervalle de  [tex]\mathbb{R}[/tex] égal à [tex] (q , +\infty [ [/tex] (ouvert ou fermé à gauche ça dépend...) si [tex]f[/tex] est une fonction de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], qui est croissante, ce que je te laisse prouver en une ligne depuis la définition d'une borne inf.
$A_p$ est donc un borélien, donc f est mesurable d'après un théorème du cours sur la caractérisation des fonctions mesurables (lemme de transport).

Par exemple la fonction f(x) = exp(x) + 2: avec $p \le 2$, $A_p$ est égal à [tex]\mathbb{R}[/tex], si p >2,  $A_p$ est égal  à [tex]]\ln(p-2), +\infty[[/tex] etc.
Comme complément tu peux essayer de trouver $A_p$ selon les valeurs de p en prenant comme fonction par exemple
_  Arctg selon la position de p par rapport à $-\pi/2$ et $+\pi/2$
_   les fonctions indicatrices respectivement de [tex][0, +\infty[ [/tex] et de
[tex]]0, +\infty[ [/tex] en prenant p = 1/2... dans un cas la borne inf est dedans, pas dans l’autre...

On peut dire aussi:
f est  monotone, donc réglée, donc mesurable en tant que limite ( et même uniforme) de fonctions en escaliers ( mesurables) . Une autre façon de voir les choses, la tienne étant plus proche des définitions et donc accessible sans autre forme de procès.

Alain