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Bonjour,

Dans le cas général (c'est à dire lorsqu'il n'est pas facile de trouver des racines dites évidentes), une méthode de résolution est due à Cardan.

Voir par exemple ici :  https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

Ma réponse initiale donne les résultats où on aboutit par la méthode de Cardan.

Bonjour,

Noter que s'il y a une coquille légère dans l'énoncé ( [tex]-x^3[/tex] au lieu de [tex]x^3[/tex] ), c'est nettement plus facile à factoriser et à résoudre...
Croisons les doigts ...

Alain

J'essaie de trouver une factorisation mais au vain.
La méthode affirmé par  Black Jack est un peu longue , mais si on pose x = u + v ,on va se ramener à une équation de 3eme degré  avec deux inconnus .

Bonjour,

Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle
équation du type   $x^3 + ax^2 +bx + c = 0$.
En posant $x = y - \frac{a}{3}$, ces équations peuvent être ramenées à la forme :
$y^3 + py + q = 0$.
$ $
3 cas peuvent alors se présenter :
$ $
1) $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 > 0$
Il y a alors une racine réelle R.
$R=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
$C1=-\frac{R}{2}+i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}$
$C2=-\frac{R}{2}-i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}$
$ $
2) $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3= 0$.
Il y a alors une racine double $R1 = R2 = -\frac{3q}{2p}$.
Il y a aussi une 3ème racine : $R3 = \frac{3q}{p}$.
$ $
3) $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 < 0$.
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique.
$R1 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3})$
$R2 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{2\pi}{3})$
$R3 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{4\pi}{3})$
********************

Avec x³-6x+7 = 0, l'équation est déjà sous la forme $x^3 + px + q = 0$ avec p = -6 et q = 7
On est dans le cas $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 > 0$, on est donc dans le cas 1 ci-dessus ...

Bonjour Abdou.

Tu verras. C'est beaucoup plus facile avec l'énoncé.

Paco.