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Bonjour à tous,

En termes d'inégalités sur les cardinaux, on a aussi les relations de Bonferroni, très amusantes à démontrer en exercice.

Alain

Uniquement si la réunion de A et B vaut E. Sinon, la réunion de A et B est strictement incluse dans E, et donc on n'obtient qu'une valeur minimale pour le nombre d'éléments dans E.

Le crible de Poincaré est utilisé en probabilités et en combinatoire pour compter le nombre d'éléments dans une réunion finie d'ensembles finis.
Lorsque l'on traite de deux ensembles A et B, la formule présente une symétrie intéressante. En notant |A| = card(A), on a les deux égalités :
|AuB| = |A| + |B| - |AnB| (permet de calculer le nombre d'élément d'une réunion en fonction de celui de l'intersection)
|AnB| = |A| + |B| - |AuB| (permet de calculer le nombre d'élément d'une intersection en fonction de celui de la réunion)

Intuitivement, ce crible permet de compter le nombre d'éléments dans chaque région délimitée dans le diagramme de Venn associé aux deux ensembles, en évitant de compter deux fois les mêmes éléments.

Par exemple, imaginons un ensemble E d'habitants d'une ville. On note A l'ensemble des habitants de cette ville vivant en appartement, et B l'ensemble des habitants de cette ville qui achètent leur pain le matin.
Au préalable, on a déjà A inclus dans E et B inclus dans E.
Ensuite, le diagramme de Venn associé aux ensembles A et B va créer 4 régions :
1) Une pour A et B (AnB) (habitants vivant en appartement achetant leur pain le matin)
2) Une pour A mais pas B (A\B) (habitants vivant en appartement n'achetant pas de pain le matin)
3) Une pour B mais pas A (B\A) (habitants ne vivants pas en appartement achetant du pain le matin)
4) Une hors de A et de B, mais toujours dans E (E\(AuB)) (habitants ne vivant pas en appartement et n'achetant pas de pain le matin)

Si on veut compter le nombre d'habitants dans AuB (vivant en appartement ou achetant du pain le matin), une première approche serait de compter le nombre d'habitants en appartement |A|, puis le nombre d'habitant achetant du pain le matin |B|, et de les additionner |A| + |B|.
En faisant ça, il se peut que l'on compte deux fois certains habitants : par exemple, parmi les habitants qui vivent en appartement, on aura déjà compté un certain nombre d'habitants qui achètent leur pain le matin.
Le crible de Poincaré vient "supprimer les doublons", c'est-à-dire se débarrasser des habitants que l'on a déjà compté, c'est-à-dire les habitants vivant en appartement et achetant leur pain le matin, à savoir ceux dans AnB.
Ainsi, le calcul total donne |AuB| = |A| + |B| - |AnB|.

(Remarque : nulle part dans le calcul on s'est penché sur le nombre total d'habitants de l'ensemble E. Cela n'a pas d'intérêt vis-à-vis du crible de Poincaré.)