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Alors j'arrive surement tard, mais j'ai plein d'interrogations :
Tu énonces $\dfrac{dx}{dt} = r + x^2$ : Pourquoi ce dt ? x est une fonction de t ou une autre variable ?
Ensuite tu dis $r +x^2=0$ donc $r=x^2$. Il me semble y avoir un problème de signe.
Tu parles de jacobienne mais pour l'instant je ne vois qu'un fonction à une variable, avec r un parametre. D'ailleurs puisque $x'=r+x^2$ alors $x''(t) = 2x(t)x'(t) =  2x(t)(r+x(t)^2)$

Quoiqu'il en soit : partons du principe que x est fonction, t la variable, r un parametre.
On cherche à résoudre $x' - x^2 = r$. On sait que $x' - x^2 = 1$ donne $x(t) = \tan(c+t)$ où $c\in\mathbb R$. On peut alors remarquer la solution générale est du type $x(t)=\sqrt{r}\tan(\sqrt{r}(c+t))$ où $c \in \mathbb R$. Pour l'instant je ne peux dire que ca.