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Oui, ce n'est pas le même domaine mais mon post explique pourquoi c'est vrai.

Bonjour,

  Ta question est mal posée. On ne peut pas trouver le le domaine de convergence normal : il n'existe pas de plus grand intervalle sur laquelle la convergence est normale. Ce que tu peux faire, c'est trouver des domaines où la convergence est normale. Ces domaines doivent te suffire pour démontrer par exemple que la somme de la série est continue sur $\mathbb R\backslash\{-1,1\}$.

On va se concentrer sur l'intervalle $]1,+\infty[$. Soit $a>1$. Sauf erreur de ma part, $F_n$ est positive et décroissante sur $]1,+\infty]$. En particulier, on sait que $\sup_{x\in [a,+\infty[} |F_n(x)|\leq F_n(a)$.
Puisque la série $\sum_n F_n(a)$ converge, ceci prouve la convergence normale sur $[a,+\infty[$.

Ainsi, tu as prouvé que la convergence était normale sur n'importe quel intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>1$. Ceci n'entraîne pas que la convergence est normale sur $]1,+\infty[$. En effet, tu as
$$\sup_{x\in ]1,+\infty[}|F_n(x)|=\sup_{x\in [1,+\infty[}|F_n(x)|=F_n(1)=1/2$$
et donc on n'a pas convergence normale sur $]1,+\infty[$.

En revanche, ceci suffit à prouver que la somme de la série est continue sur $]1,+\infty[$. Fixe en effet $x_0>1$ et soit $a\in ]1,x_0[$. Alors, puisque la série converge normalement sur $[a,+\infty[$ et que chaque $F_n$ est continue, la somme de la série est continue sur $[a,+\infty[$, donc en particulier en $x_0$.

Ce qu'il y a de profond derrière, c'est que la convergence normale (comme la convergence uniforme) est une propriété globale, quand la continuité est une propriété locale.

F.