Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bon bah, ...
Difficile de t'aider si le problème change à chaque fois.
Le réponse de l'autre personne ne semble pas correspondre au problème actuel (où est l'indice $k$ qui représente l'étape ?). ça semble proche de ce que j'avais compris au tout début (pas de notion d'étapes).

Je propose donc une notation qui permettra de simplifier l'écriture du problème, et donc aider à le résoudre.
Je passe en notation vectorielle.
Je pose $R^k = (R_1^k, \cdots,R_n^k)^T$ le vecteurs des $R_i$ et note également $X^k = R^{k}-R^{k-1}$ l'innovation qui donne l'étape $k$.
Je noté également $D^k = (d_1^k, \cdots,d_{n-1}^k, 0)$ le vecteur des $d_i$, que j'ai complété à $0$ pour avoir la même dimension que $R^k$.

Je définis ensuite les matrices $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ comme suit :
$A_1$ : matrice avec une diagonale de $1$ juste au dessus de la diagonale principale. Elle "décale" un vecteur vers le haut : $A_1(x_1,\cdots,x_n)^T = (x_2,\cdots,x_n,0)^T$.

$A_2$ : Matrice identité à laquelle on enlève le dernier $1$ en bas à droite. Elle met à zéro l'entrée $n$ d'un vecteur.

$A_3$ : Matrice telle que $A_3(x_1,\cdots,x_n)^T = (x_2,0,\cdots,0)^T$ ($(A_3)_{1,2}=1$, et $(A_3)_{i,j}=0$ autrement).

$A_4$ : Matrice telle que $A_4(x_1,\cdots,x_n)^T = (0,\cdots,x_{n-1},0)^T$ ($(A_4)_{n-1,n-1}=1$, et $(A_4)_{i,j}=0$ autrement).

Alors, les trois relations précédentes peuvent s'écrire comme :
$D^{k+1} = D^{k} - A_1X^{k+1} - A_2X^{k+1} + (A_3+A_4)X^{k+1}$

Soit encore, si on pose $A = A_1 + A_2 - (A_3+A_4)$, la relation
$D^{k+1} = D^{k} - AX^{k+1}$

Donc, si $D^p=0$, on aurait alors $0 = D^1-A\sum_{i=1}^{p-1}X^{i+1}=D^1 - AR^{p}$

Il faut donc regarder si la matrice $A$ est inversible (chaque étape est réversible).
Je n'ai pas encore eu le temps de vérifier.

Donc, en résumé :
$d_i^{k+1} = d_i^{k} - (R_{i+1}^{k+1}-R_{i+1}^k) - (R_{i}^{k+1}-R_{i}^k)$ Pour $2 \le i \le n-2$
$d_1^{k+1} = d_1^{k} - (R_{1}^{k+1}-R_{1}^k)$
$d_{n-1}^{k+1} = d_{n-1}^{k} - (R_{n}^{k+1}-R_{n}^k)$

C'est ça ?

Il y a encore un point à préciser.

On note $x_i^k = R_i^{k+1}-R_i^k$ l'augmentation de $R_i$ à la $k$-ième étape, avec $x_i^k \ge 0$. Il y a $n$ valeurs.

Ensuite, tu dis que $d_i^{k+1}=d_i^k - x_i^k$. Ici, on n'a que $n-1$ valeurs de $d_i^k$. A quoi sert $x_n^k$ ?

--EDIT--
Je rectifie ma question, je pense qu'il faut préciser comment sont modifiés les $d_i$
Prenons $d_2$ entre l'étape $1$ et $2$. Il peut bouger parce que  $R_2$ a bougé :$R_2^2 = R_2^1 + x$, ou parce que $R_3$ a bougé $R_3^2 = R_3^1 + y$
Que vaut $d_2^2$, est-ce $d_2^2=d_2^2-x$ (application de la première partie de ta règle avec $i=2$) ou est-ce $d_2^2=d_2^2-y$ (application de la deuxième partie de ta règle avec $i=3$)

OK, alors :

Nous avons n valeurs valant initialement 0 : $R_1^0$, $R_2^0$.. $R_n^0$ = 0
Nous avons n-1 autres valeurs étant initialement >=0 (et peuvent être différentes les unes des autres) : $d_1^0$, $d_2^0$ .. $d_{n-1}^0$ >=0.

Il faudrait que - par une formule, un algorithme ou n'importe quel moyen - j'annule toute cette dernière série de valeurs, c'est-à-dire que (disons après l’itération p) : $d_1^p$ = $d_2^p$ = .. = $d_{n-1}^p$ =0.

Je dois à ce sujet respecter/employer la règle suivante (pour une itération k quelconque) :

Si $R_i^{k+1}$ = $R_i^k$ + x (avec x réel, >=0)

Alors $d_i^{k+1}$ = $d_i^k$ - x et $d_{i-1}^{k+1}$ = $d_{i-1}^k$ - x ; valable pour 1<i<n
Pour i=1 : $d_1^{k+1}$ = $d_1^k$ - x
Pour i=n : $d_{n-1}^{k+1}$ = $d_{n-1}^k$ - x

Nous travaillons avec des nombres réels positifs ou nuls que ce soit les valeurs R ou d merci bien  :-)

Merci beaucoup de cette brillante réponse Yassine,

Et le fait est que j'ai malheureusement omis de préciser quelque-chose, j'en suis navré  :(

Je reformule svp :

Nous avons n valeurs valant initialement 0 : R1 .. Rn = 0
Nous avons n-1 valeurs étant initialement >=0 (peuvent naturellement être différentes) : d1 d2 .. dn-1 >=0.

Il faudrait que j'annule tous ces di (i : 1 .. n-1) en employant la règle suivante :

Une augmentation de x d'un Ri entraîne, en plus de la diminution de x de di, une pareille diminution de x de di-1.
Valable pour 1<i<n ; pour i=1 alors que le d1 diminue ; pour i=n alors que dn-1 diminue.

On peut encore signaler qu'en d'autres termes, Ri + Ri+1 = di est également valable.

Il faut qu'en finalité, les Ri soient >=0 (nombres réels)

Merci, A+

dike   :-)

Bonjour et merci de ta réponse.

J'ai entre-temps reformulé le problème, peut-être que cela n'était pas à jour dans ton navigateur. Voici donc :

J'ai une série de valeurs >=0, que je nomme di (i : 1->n-1). Le problème est de trouver une autre série de valeurs, Ri >=0 (i : 1->n), telles que :

Ri + Ri+1 = di.

Et surtout rien de négatif dans l'histoire merci.

En espérant que ce soit clair. Et en fait de langage, ma préférence serait le perl  :)

A+, cordialement,

dike